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2012年四川高考文数

数学题库

高中数学

1. 设集合 $A = \{a, b\}$, $B = \{b, c, d\}$, 则 $A\cup B=$ A. $\{b\}$ B. $\{b, c, d\}$ C. $\{a, c, d\}$ D. $\{a, b, c, d\}$
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2. $(1+x)^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是 A. $21$ B. $28$ C. $35$ D. $42$
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3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查, 假设四个社区驾驶员的总人数为 $N$, 其中甲社区有驾驶员 $96$ 人. 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 $12, 21, 25, 43$, 则这四个社区驾驶员的总人数 $N$ 为 A. $101$ B. $808$ C. $1212$...
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4. 函数 $y = a^x - a$ ($a > 0$, 且 $a \neq 1$) 的图像可能是 A. B. C. D.
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5. 如图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$, 延长 $BA$ 至 $E$, 使 $AE = 1$, 连接 $EC$、$ED$, 则 $\sin \angle CED =$ A. $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ B. $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ C. $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$...
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6. 下列命题正确的是 A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等, 则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面, 则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面, 则这两个平面平行
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7. 设 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 都是非零向量. 下列四个条件中, 使 $\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}=\dfrac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ 成立的充分条件是 A. $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$ 且 $\overrightarrow{a}\ //\ \overrightarrow{b}$ B. $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$...
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8. 若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{matrix}x-y\geq -3,\\ x+2y\leq12,\\ 2x+y\leq12,\\ x\geq 0,\\ y\geq 0,\end{matrix}\right.$ 则 $z=3x+4y$ 的最大值是 . A. $12$ B. $26$ C. $28$ D....
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9. 已知抛物线关于 $x$ 轴对称, 它的顶点在坐标原点 $O$, 并且经过点 $M( 2,y_{0})$. 若点 $M$ 到该抛物线焦点的距离为 $3$, 则 $|OM|=$ A. $2\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{3}$ C. $4$ D. $2\sqrt{5}$
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10. 如图, 半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内, 过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$, 过圆 $O$ 的直径 $CD$ 作与平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面与半球面相交, 所得交线上到平面 $\alpha$ 的距离最大的点为 $B$, 该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle BOP = 60^{\circ}$, 则 $A$、$P$ 两点间的球面距离为 A. $R\arccos \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ B. $\dfrac{\pi R}{4}$...
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11. 方程 $ay=b^{2}x^{2}+c$ 中的 $a,b,c \in \{-2,0,1,2,3\}$, 且 $a,b,c$ 互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中, 不同的抛物线共有 A. $28$ 条 B. $32$ 条 C. $36$ 条 D. $48$ 条
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12. 设函数 $f(x)=(x-3)^{3}+x-1$, $\{a_{n}\}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列, $f(a_{1})+f(a_{2})+\dots+f(a_{7}) =14$, 则 $a_{1}+a_{2}+\dots+a_{7}$ = A. $0$ B. $7$ C. $14$ D. $21$...
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13. 函数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-2x}}$ 的定义域是 . (用区间表示)
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14. 如图, 在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $M$、$N$ 分别是棱 $CD$、$CC_{1}$ 的中点, 则异面直线 $A_{1}M$ 与 $DN$ 所成的角的大小是 .
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15. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{5}=1$ ($a$ 为定值, 且 $a > \sqrt{5} $) 的左焦点为 $F$, 直线 $x=m$ 与椭圆相交于点 $A$、$B$, $\triangle FAB$ 的周长的最大值是 $12$, 则该椭圆的离心率是 .
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16. 设 $a, b$ 为正实数, 现有下列命题:①若 $a^2-b^2=1$, 则 $a - b < 1$;②若 $\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=1$, 则 $a - b < 1$;③若 $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| = 1$, 则 $|a-b| < 1$;④若 $|a^3-b^3| = 1$, 则 $|a-b| < 1$.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号)
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17. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) $A$ 和 $B$, 系统 $A$ 和系统 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\dfrac{1}{10}$ 和 $p$. (I) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\dfrac{49}{50}$, 求 $p$ 的值; (II) 求系统 $A$ 在 $3$ 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
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18. 已知函数 $f(x)=\cos^{2}\dfrac{x}{2}-\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}$. (I) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和值域; (II) 若 $f(\alpha)=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$, 求 $\sin 2\alpha$ 的值.
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19. 如图, 在三棱锥 $P-ABC$ 中, $\angle APB = 90^{\circ}$, $\angle PAB = 60^{\circ}$, $AB=BC=CA$, 点 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影 $O$ 在 $AB$ 上. (I) 求直线 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成的角的大小; (II) 求二面角 $B-AP-C$ 的大小.
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20. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 常数 $\lambda > 0$, 且 $\lambda a_{1}a_{n}=S_{1}+S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立. (I) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 ; (II) 设 $a_{1} > 0$, $\lambda = 100$. 当 $n$ 为何值时, 数列 $\{\lg \dfrac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和最大?
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