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2013年广东高考理数

数学题库

高中数学

1. 设集合 $M=\{x|x^2+2x=0,x\in\mathbf{R}\}$, $N=\{x|x^2-2x=0,x\in\mathbf{R}\}$, 则 $M\bigcup N=$ A. $\{0\}$ B. $\{0,2\}$ C. $\{-2,0\}$ D. $\{-2,0,2\}$
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高中数学

2. 定义域为 $\mathbf{R}$ 的四个函数 $y=x^3$, $y=2^x$, $y=x^2+1$, $y=2\sin x$ 中, 奇函数的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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高中数学

3. 若复数 $z$ 满足 $\text{i}z=2+4\text{i}$, 则在复平面内, $z$ 对应的点的坐标是 A. $(2,4)$ B. $(2,-4)$ C. $(4,-2)$ D. $(4,2)$
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数学期望

已知离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $X$ $1$ $2$ $3$ $P$ $\dfrac{3}{5}$ $\dfrac{3}{10}$ $\dfrac{1}{10}$ 则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ (    ) A. $\dfrac{3}{2}$ B. $2$ C. $\dfrac52$ D. $3$
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5. 某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是 A. $4$ B. $\dfrac{14}3$ C. $\dfrac{16}3$ D. $6$
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高中数学

6. 设 $m$, $n$ 是两条不同的直线, $\alpha$, $\beta$ 是两个不同的平面. 下列命题中正确的是 A. 若 $\alpha\perp\beta$, $m\subset\alpha$, $n\subset\beta$, 则 $m\perp n$ B. 若 $\alpha//\beta$, $m\subset\alpha$, $n\subset\beta$, 则 $m//n$ C. 若 $m\perp n$, $m\subset\alpha$, $n\subset\beta$...
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高中数学

7. 已知中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $F(3,0)$, 离心率等于 $\dfrac32$, 则 $C$ 的方程是 A. $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{\sqrt5}=1$ B. $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{5}=1$ C. $\dfrac{x^2}2-\dfrac{y^2}{5}=1$ D....
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8. 设整数 $n\ge4$, 集合 $X=\{1,2,3,\cdots,n\}$. 令集合 $S=\{(x,y,z)|x,y,z\in X$, 且三条件 $x < y < z$, $y < z < x$, $z < x < y$ 恰有一个成立 $\}$. 若 $(x,y,z)$ 和 $(z,w,x)$ 都在 $S$ 中, 则下列选项正确的是 A. $(y,z,w)\in S$, $(x,y,w)\not\in S$ B. $(y,z,w)\in S$, $(x,y,w)\in S$ C...
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9. 不等式 $x^2+x-2 < 0$ 的解集为
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10. 若曲线 $y=kx+\ln x$ 在点 $(1,k)$ 处的切线平行于 $x$ 轴, 则 $k=$
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11. 执行如图所示的程序框图, 若输入 $n$ 的值为 $4$, 则输出 $s$ 的值为
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12. 在等差数列 $\{a_n\}$ 中, 已知 $a_3+a_8=10$, 则 $3a_5+a_7=$
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13. 给定区域 $D$: $\begin{cases}x+4y\ge4\\ x+y\le 4 \\ x\ge0 \end{cases}$, 令点集 $T=\{(x_0,y_0)\in D~|~x_0,y_0\in \mathbf{Z}$, $(x_0,y_0)$ 是 $z=x+y$ 在 $D$ 上取得最大值或最小值的点 $\}$, 则 $T$ 中的点共确定 条不同的直线.
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14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases} x=\sqrt2 \cos t\\ y=\sqrt2 \sin t \end{cases}$ ($t$ 为参数), $C$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 $l$. 以坐标原点为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则 $l$ 的极坐标方程为
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15. (几何证明选讲选做题) 如图, $AB$ 是圆 $O$ 的直径, 点 $C$ 在圆 $O$ 上. 延长 $BC$ 到 $D$ 使 $BC=CD$, 过 $C$ 作圆 $O$ 的切线交 $AD$ 于 $E$. 若 $AB=6$, $ED=2$, 则 $BC=$
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16. 已知函数 $f(x)=\sqrt2\cos(x-\dfrac{\pi}{12})$, $x\in\mathbf{R}$. (1) 求 $f(-\dfrac{\pi}6)$ 的值; (2) 若 $\cos\theta=\dfrac35$, $\theta\in(\dfrac{3\pi}2,2\pi)$, 求 $f(2\theta+\dfrac{\pi}3)$.
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17. 某车间共有 $12$ 名工人, 随机抽取 $6$ 名, 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示, 其中茎为十位数, 叶为个位数. (1) 根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 $12$ 名工人中有几名优秀工人? (3) 从该车间 $12$ 名工人中, 任取 $2$ 人. 求恰有 $1$ 名优秀工人的概率.
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18. 如图 1, 在等腰直角三角形 $ABC$ 中, $\angle A=90^\circ$, $BC=6$, $D$, $E$ 分别是 $AC$, $AB$ 上的点, $CD=BE=\sqrt2$, $O$ 为 $BC$ 的中点. 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起, 得到如图 2 所示的四棱锥 $A'-BCDE$, 其中 $A'O=\sqrt3$. (1) 证明: $A'O\perp$ 平面 $BCDE$; (2) 求二面角 $A'-CD-B$ 的平面角的余弦值.
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19. 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 已知 $a_1=1$, $\dfrac{2S_n}n=a_{n+1}-\dfrac13n^2-n-\dfrac23$, $n\in\mathbf{N}^*$. (1) 求 $a_2$ 的值; (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式; (3) 证明: 对一切正整数 $n$, 有 $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n}<\dfrac74$.
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20. 已知抛物线 $C$ 的顶点为原点, 其焦点 $F(0,c)$ ($c > 0$) 到直线 $l: x-y-2=0$ 的距离为 $\dfrac{3\sqrt2}2$. 设 $P$ 为直线 $l$ 上的点, 过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA$, $PB$, 其中 $A$, $B$ 为切点. (1) 求抛物线 $C$ 的方程; (2) 当点 $P(x_0,y_0)$ 为直线 $l$ 上的定点时, 求直线 $AB$ 的方程; (3) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时, 求 $|AF|\cdot|BF|$ 的最小值.
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