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世界名画中的数学13—极限

有一段时间没有更新这个系列是因为应中国科学报邀请在那里开专栏“数说名画”,而他们希望我的新文在专栏中首发。这就是延迟的原因,我在此向喜欢这个系列的博友致谦。今天贴出来的主要部分已在中国科学报上发表,所以根据承诺,我可以延续这个系列了。不象专栏有字数和图数的限制,在这里我可以畅所欲言。

前面已经有博友在评论中指出,说名画与数学关系最密切的是埃舍尔。的确,谈名画中的数学不谈埃舍尔是不可思议的。但恰恰是因为这种密切关系才让我踌躇。当然再难也是要面对的。埃舍尔的论题一集难以说透,再以后的几集里我就试着谈谈埃舍尔,不妥之处请商榷。

摩里茨·科奈里斯·埃舍尔,(Maurits Cornelis Escher,1898-1972), 荷兰图形艺术家。他以其源自数学灵感的木刻、版画等作品而闻名。他的作品隐含耐人寻味数学意念和哲学思考却无法归属于任何一家流派。他所创立的风格有点空前绝后的状态,不仅前无古人,好象也看不见追随者,却被众多科学家推崇。他的艺术显示了数学之魂,哲理之美。他将数学的匀称、精确、规则、循序、奇幻等抽象特性以不可思议的方法表现在神奇作品中,并将貌似矛盾的异次元空间状态用难以言喻的形式糅合到平面画布上。例如明明是向二楼上去的楼梯不知为什么却返回到了一楼,鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿。他的艺术充满着难以抗拒的魔力,征服着人们的心灵。尽管很长时间以来他的艺术被美术界视为异端,却在科学家们的广泛而深刻的欣赏中在世界范围内确立了不可动摇的地位。

田松和王蓓曾翻译过布鲁诺.恩斯特的一本书《魔镜-埃舍尔的不可能世界》。这本书的作者通过和埃舍尔的交往以及近距离的观察,试图解读埃舍尔通过画笔给人们呈现的不可能世界。然而,作者笔下的埃舍尔似乎和常人没什么两样,甚至广受数学家们热爱的他数学训练却十分有限,他说道:“我的数学从来就没有及格过。滑稽的是,我似乎还不知道怎么回事就理解了数学理论。的确,我在学校里的数学成绩非常差。可现在,好家伙——数学家在用我的版画给他们的著作插图。真想不到,我竟然与这些有学问的家伙一唱一和,仿佛我是他们失散多年的兄弟。我猜他们对我在数学方面的无知肯定一无所知。”这段话释放出来的信息是,埃舍尔没有经过太多的数学训练,并且传统的数学课成绩并不好。但他却是以一种“直觉”的方式理解了很多人感觉深奥难懂的数学,并且可以用他的画笔与那些不明觉励的真正的数学家们沟通。这样的现象,除了“天才”,别无它释。

埃舍尔的画从数学的眼光来看,大致可分为极限、互耦、变换、易维、奇空等方面。以后我们分别欣赏。这集里我们先欣赏他的极限图。

下面两幅画,左边的叫Circle Limit III (圆之极限.1959),右边的叫Smaller and Smaller 
(越来越小.1956)。画题就点明了极限。

 

     

 

极限的萌芽很早就有,我国古代的庄子在《庄子。天下篇》记载“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”反映了其朴素的极限思想。极限的概念在数学上的精准刻画是在18世纪随着数学的微积分学科的完善由柯西(AugustinLouis Cauchy,1789-1857)和魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß,1815-1897)等人严格阐述而完成。它指的是变量在一定的变化过程中,从趋势上来说无法控散或者逐渐稳定的变化过程,前者称为发散趋于无穷,后者称为收敛到极限值。在现代的数学分析中,几乎所有基本概念如连续、微分、积分都是建立在极限理念的基础之上,也就是说极限就是微积分的灵魂。而“数学不好”的埃舍尔却驾轻就熟地将抽象的极限概念形象地在具体的画布上表现出来,用有限挑战无穷,用静止刻画变程。

庄子是在一维空间里的棰子上诠释微积分中极限无穷小,而埃舍尔,则是在二维画布上描述极限。他画过很多极限图,上面的图是典型的两幅。它们分别通过一个圆形和一个方形,用动物的形象(埃舍尔最喜欢画的动物鱼和蜥蜴)越变越小,分别收敛到边缘和中心。因为在二维空间里,极限一般是一个二维空间里的一维曲线,也可能退化到一个点。在左图中极限是圆边周,在右图中极限是中心点。

尽管在计算机发达的今天,人们很容易通过程序来画出类似的图形。但想想在埃舍尔的时代,这个过程就是埃舍尔天才的“预见实现”。

来源:http://blog.sciencenet.cn/blog-39446-778964.html