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【数学科普】什么是薛定谔方程

Marianne Freiberger

下面是一个典型的教科书问题:你的车已经用完了汽油,你要用多大的力才能把它加速到给定的速度?答案来自牛顿第二运动定律:

[ F = ma, ]

其中$a$是加速度,$F$是力,$m$是质量。这个完美、直截了当、但也细微的定律可以描述各种运动,因此至少在理论上可以回答一个物理学家可能要问的关于世界的几乎所有问题。

真是可以吗?当人们第一次开始考虑最小尺度的世界时,例如电子绕原子核旋转,慢慢意识到事情变得非常奇怪,事实上,牛顿定律不再适用。为了描述这个微小的世界,你需要用到迟至二十世纪初才开始发展的量子力学理论。这个理论的核心方程类似于经典力学中的牛顿第二定律,它被称为薛定谔方程。

薛定谔方程是以欧文·薛定谔(1887-1961)的名字命名的,。

波和粒子

“在经典力学中,我们使用位置和动量来描述一个物理系统的状态,”剑桥大学的理论物理学家NAZIM Bouatta解释道。例如,假设桌面上有一些运动着的台球,如果你知道了每个球在某个时刻$t$的位置和动量(即质量乘以速度),那么你就知道了该系统在时刻$t$的一切:这里的一切指的是运动的状态和运动得多快。我们会问:“如果我们知道一个系统的初始条件,即我们知道系统在时间$t_0$的状态,那么该系统的动态如何演变?牛顿第二定律可以帮助我们回答此类问题。在量子力学中,我们问了同样的问题,但得到的答复是棘手的,因为位置和动量不再是描述系统的合适变量。”

问题的关键是,量子力学试图描述的对象及其行为并不总是像小小的台球那么简单。有时,最好把它们看成是波。“把光作为例子,牛顿除了他关于引力的工作,也对光学有兴趣,”Bouatta说。“根据牛顿,光由粒子所描述,但是,经过许多科学家的工作,其中包括由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的理论所导致的认识,人们发现,光确实可用波来刻画。”

但在1905年,爱因斯坦认识到波动学说也并不完全正确。为了解释光电效应,你需要把光束视为被爱因斯坦称为光子的粒子流。光子数与光的强度成正比,每个光子的能量$E$与其频率$f$成正比:

[ E = h f. ]

这里$h=6.626068 times 10^{-34}m^2 kg/s$是一个令人难以置信的小数,称为普朗克常数,以物理学家马克斯·普朗克的名字命名,他在1900年关于黑体辐射的工作中已经猜到这个公式。“因此,我们面临这样的情况:描述光的正确方法是它有时为波,有时为粒子,”Bou......

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