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高观点下的初等数学与数学教师MPCK的优化案例剖析

高观点下的初等数学与数学教师 的优化案例剖析

张红 孙立坤 李昌勇

    数学教学内容知识(Mathematics Pedagogical Content Knowledge,简称MPCK)是数学教师从事专业教学所应具备的核心知识。由于MPCK对于教师的专业成长具有决定性作用,对于MPCK的研究也因此逐渐成为近年来各国数学研究者普遍关注的热点问题。;本文从一个案例出发,重点剖析如何在教师培训中引导教师从高观点角度解读初等数学问题,帮助改善教师的教学工作,达到优化数学教师的MPCK的最终目的。

1  国内外教学内容知识(PCK)与数学教学内容知识(MPCK)的研究现状和趋势

    教学内容知识(pedagogical content knowledge,简称PCK)首先由Shulman在1986年提出,并于1987年给出进一步解释:教学内容知识是内容知识和教学法知识的特殊融合,是教师独一无二的领域,也是他们自身的专业理解的特殊形式.教学内容知识的特别之处在于它鉴别出了用于教学的知识与众不同的部分.它表示内容和教法融合为一种理解,一种如何使特定主题和问题(topics,problems,Orissues)组织、表征、适应于学习者的各种兴趣和能力,并为了教学呈现其理解.教学内容知识是最有可能把内容专家的理解和教师的理解区分开来的一种知识类型。

    目前全世界有很多关于教师数学教学内容知识,包括对数学内容知识,数学学科知识结构的理解等在内的研究.在欧美地区,如美国的Thomas P.Carpenter等学者在研究中发现小学数学教师通过对学生思维的理解可以增强自身的学科知识,教学法内容知识与课程之间的连贯性,帮助教师对自身数学教学内容知识进行更广泛的知识重构;马立平教授则从分数除法的角度切入,从数学教学法、数学教学内容等方面分析两国教师对初等数学的掌握和理解,并将小学数学课堂教学过程进行了详细对比;土耳其学者ElifB.等人在其论文“数学中的教学内容知识:对土耳其小学职前数学教师的透视”中通过对45名小学数学教师申请者进行的开放式问卷测试,对职前教师的数学教学内容知识的能力要求做出了规定,并建议对职前数学教师的教育应同时从“数学知识”和“教学内容知识”两个方面进行。在亚洲地区,台湾地区的学者黄幸美在对20名小学5,6年级数学教师进行的数学概念和教学内容知识的调查研究中发现了对学生理解能力的认知和对指导性练习知识的理解之间的相互作用关系,并建议为教师提供更多的在职教育,促进教师对数学知识等的理解;香港的萧文强教授曾为香港中学教师开设2日工作坊,从数学史切入,在数学中引入文化元素,看数学概念是如何在历史中发展形成起来的,对数学教育给出启示;而黄毅英教授等人则从日常数学疑难出发,撰写多篇文章,剖析学生经验,教学处理等教师在教学中的实际问题,形成了宝贵的MPCK培训资源。

    按照香港学者黄毅英等的分类观点,数学教学内容知识(MPCK)由以下三部分组成:(1)数学学科知识(Mathematics Knowledge,简称MK);(2)一般教学法知识(Pedagogical Knowledge,简称PK),指超出学科内容之外的关于课堂组织管理的主要原则和策略;(3)有关数学学习的知识(ContentKnowledge,简称CK),包括学习者,学习背景、学习环境、教育目标与价值,教育情境等知识.并在Cochean、De Rtuter和King等学者已建构的学科教学认识的发展综合模型的基础上建构出MPCK的结构图(如图1),它是MK,PK,CK三类知识的公共部分,是数学知识(MK)与教学内容知识(PCK)的融合。显然,MPCK是数学教师从事专业教学所应具备的核心知识。通常情况下教师的MK,CK,PK基本框架是一样的,但3个集合相互之间的交集大小是会改变的,多数研究表明在职优秀教师由于多年教学经验的积累,即使他们的MK,PK,CK知识并不一定十分完备但相互间的融合比较紧密,MPCK因此也会比较大(见图2)。

    依图所示,教学法知识(PK),内容知识(CK),数学知识(MK)处于同等重要的地位,并强调其相互的关联性,教师只有将PK、CK、MK充分结合,最终才能够形成一个完整且连续的数学教育计划。

    数学教师的任务是从教学的角度组织与使用这些数学知识,目的是帮助学生正确理解与掌握相关的数学。对教师MPCK的“动态本质的建构”研究可以深刻揭示出数学教师独有的知识类型。而教师MPCK的发展亦是一个主动将学科知识和教学知识不断进行建构、融合的过程。

    现阶段的研究表明:教师在一些数学课程上缺乏理性认识,教师的认识和教学实践之间的关系也同样需要进行更多的包括对特定数学问题进行的分析研究。此外,大多数研究指出教师在对数学的某一特定内容上的自我优化和指导大部分是由他们的教学内容知识(CK)、学科知识(MK)、教学法知识(PK)等共同决定,由于这个重要的原因,对于教师MPCK的研究已经逐渐成为当前教育实践研究的前沿问题。

2  教师MPCK案例剖析

    数学教学内容知识(MPCK)是一种能够把科学形态的数学有效地转化为教育形态的知识。在日常数学教学中,教师不断的运用MPCK指导课堂教学,评估教学过程,呈现数学背景,体现数学本质等。教师一旦建构起自己的MPCK,就会内化为教师解释、认识、评价教学事件的框架和模型,并以这种框架或模型去分析、说明、论证、评价教学中的问题,形成个人独有的处理各种教学问题的原则和方法。可见针对教师开展MPCK的研究,对促进教师的专业化成长具有重要意义。在中学数学教学的过程中,由于学生的心智发展水平和学习特点还处于发展阶段,因此对于教材中的一些问题只是作简单的阐述,并不需要进行探究和讨论。但作为知识拥有者和传授者的教师本身,问题的掌握不可能仅局限于中学那种肤浅的理解层次,而应该在可研究的问题上从高观点、数学史的发展角度去剖析教材与数学问题,高处着眼,低处入手,深入浅出的对其进行探究和挖掘内涵,沟通基本概念间的相互联系,揭示问题的本质含义。正如德国著名数学家克莱因所说的,只有在完全不是初等数学的理论体系中,才能深刻地理解初等数学”。

    常见的对数学教师进行数学教学内容知识(MPCK)培训的切入点主要包括:数学知识结构的解读、引人数学史、学与教过程中常见的疑点。如何在教师培训中引用适当的案例指导教师进行教学知识的自我重建是教育研究者应重点关注的问题。下面以一道初中数学题为案例,分析并展示在教师培训中如何将高观点数学与初等数学进行联系从而拓展并优化教师的数学教学内容知识(MPCK)。

    初中教师的MPCK分析:

    (1)从MK的角度:本问题首先涉及到教师对初中教学大纲的把握及立方和公式与多项式乘法和因式分解之间的关系.其次在解题中涉及含双元多项式的因式分解法。

    (2)从PK的角度:本题在初中阶段的解决重点需要教师对知识点的分析,教学法上采用讲授法帮助学生理解。

    (3)从CK的角度:初中阶段学生在解题中要培养观察能力,在保持知识点的连贯性的基础上,向学生渗透高等数学思想方法中的变元思想,提高对解题思想和解题方法的理解与运用能力等,为高中学习做好准备。

    (4)MPCK的综合运用:初中阶段虽然对立方和公式的掌握不作要求,但教学经验丰富的教师知道它对于初中解题和将来与高中数学课程的衔接等方面所起到的重要作用,因此大都会在学习因式分解阶段以将此类知识点作为一种解题技能补充渗透给学生。

    高中教师的MPCK分析:

    (1)从MK的角度:函数概念及性质如函数单调性可以用来解方程判断方程根的情况。

    (2)从PK的角度:在实际教学时,可适当选择启发式教学策略或小组讨论的形式引导学生找出题目特点,运用相应知识点解题。

    (3)从CK的角度:高中学生的认知水平较高,可渗透较高的数学观点如代数基本定理并与学生探讨根的情况。

    (4)MPCK的综合运用:利用奇偶函数的特点之一“奇函数没有偶次项”和函数的单调性让学生运用构造法构造函数f(x)=x3+1997x,在方程根的估计过程中,有经验的教师会适当渗透在高等代数的解题中是如何判断实系数奇次方程根的个数情况,对于这道题当f(x)=0时方程至少有3个实根,并描绘出f(x)的大致图像,让学生理解图像穿过工轴的次数即为实根的个数,渗透高等代数的解题思想方法。

    教学过程中直觉知识和默会知识是教师决策的核心依据。教师对解题方法的选择与呈现方式都基于教师的数学知识与实践经验。教师如何把握学科的特点、知识的科学性、课堂教学结构、各环节的逻辑关系、科学方法的运用等,都在不同程度上体现出教师MPCK的运用程度。

    高等数学的特点是具有广泛采用抽象方法的特点,它把数学对象进行分类,从不同的具体事物或进程中抽象出它们的共同的质的关系,因此同一数学理论能够反映不同的具体事物或进程中的共同关系,并能够在不同的领域中得到应用。基于这些特点在教师培训中向教师渗透高观点的解题方法和思维方式,对教师如何在更广阔的知识背景下解读教材,将已有知识与更高层次数学知识联系在一起,最终丰富教师的MPCK是很有帮助的.

3  调查与反思

    笔者曾对成都市7区12县130多名初中数学骨干教师进行在职培训,并要求教师解答本文给出的例题,列出尽可能多的解法。接受培训的教师中有104名教师长期从事初中数学教学,26名教师曾经分别从事过高中不同年级的数学教学。这些教师大都毕业于高等师范院校,具有丰富的教学经验。在教师们呈现出的解题方法中大多数只有初中阶段的解法,能运用高中知识解题的不足30人,而能够列出高等代数解法的教师也只有不到5人。职前教育与职后工作的脱节程度略见一斑。关于教师工作和生活的人种学案例研究表明,教师所具有的知识和技能与他们的工作及个人经历的具体环境紧密相关。他们所具有的独特性知识富有个人性,实践性和情境性的特点。可见教师在专业成长中MPCK的发展会不断受到教学环境等外界条件影响和制约的,因此选择代表性的案例对职前、在职教师进行定期的专业化培训,从不同的角度向教师演绎高等数学中所蕴含的解题方法及数学思想,引导教师在初、高中数学与高等数学之间建立纵向联系,丰富教师的数学内容知识(MCK)和数学教学法知识(MPK),提高中学数学研究的立足点,是帮助中学数学教师的数学教学内容知识(MPCK)的发展与重建,提高自身数学素养,从新手教师蜕变为专家教师的一个有效途径。

摘自《数学通报》