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试论数学课堂数学的“五级品位”

试论数学课堂数学的“五级品位”

黄安成

    在数学新课改的浪潮中,各地的“赛课”“课例大赛”“展示课”“示范课”“汇报课”等活动层出不穷.但在活动中,少数人的名利思想也导致了某些作弊现象的出现。所以一位资深的教育专家不无愤慨地提议:“此类赛课活动可以休矣!”

    笔者认为不能因噎废食,健康的各种教学比赛及其相关的研究活动不仅不应“休矣”,而且还应该大力提倡与精心策划、精心组织、精心实施、精心总结。不少地方采取的“借班上课”的方式,就是防止作弊的一种有效的手段.不管执教者事先准备了多长时间,不管在课前集中了多少人的智慧,不管在非执教班“演练”了多少次,不管请教了多少专家来“会诊”,只要不在自己任教的班级施教,就无法“忽悠”听课者与评课者.笔者经常说:“健康的教学赛事与研究活动是教师进步的台阶”.教学能手、优秀教师、名教师、高级教师、特级教师等,都是经过多次各种“课”的研修、实践、磨砺,甚至经历了十分“痛苦”的过程而“熬”出来的。

    各种“赛课”都有“评审表”之类的资料,设几大项,每大项又有若干小项,分项打分,再汇总。但笔者总感到太繁琐、太细碎。事实上,评委们并不按照“评审表”的各小项详细地给分,有的只给出一个总分,有的也只是给出各大项的分数再相加得最后的总分。

    通过长期的实践、探索、思考与研讨,笔者形成了评价数学课“五级品位”的概念,即“废品,次品,正品,精品,极品”。评课时,先根据课的整体水平、能力与效果确定其品位,然后在某品位中还可有上下浮动,最后确定其总分。笔者初步认为,若满分为100分,则50分以下的为废品;在区间[51,69]内的为次品;在区间[70,84]内的为正品;在区间[85,94]内的为精晶;95分以上的为极品。

    树立了“五级品位”的概念,数学教师,特别是中青年数学教师就有了明确的奋斗目标。尽管在每次公开课后,听课者、评课者都不会给出“废品、次品”的结论,但执教者会给自己的课做出恰当的评价与准确的定位。那么“拒绝废品,减少次品,保证正品,力求精品,进击极品”,就会成为他们逐步努力的方向。

1  “五级品位”的评定标准

品位

评定标准

废品

教学程序结构不科学,教学思路无条理,对教材的理解肤浅,驾驭调控能力差,教学的各个环节衔接不合理,教学基本功不过硬,有严重的科学性错误,教学效果很差。

次品

教学程序结构不甚科学,教学思路条理性不强,对教材的理解不够深入,驾驭能力较差,教学过程中有明显的瑕疵,教学基本功不太过硬,学生的活动量较小,教学效果较差。

正品

教学程序结构比较科学,教学思路有条理,对教材的理解比较深入,教学没有明显的瑕疵,教学基本功比较扎实,学生活动量适当,教学效果较好

精品

教学程序结构科学,教学思路条理性强,对教材的理解深入、透彻,驾驭调控能力强,教学各个环节的衔接得当,教学基本功扎实,教学有一定的创意,学生活动充分,教学效果好

极品

教学程序结构与思路科学合理,条理性、逻辑性很强,对教材的理解非常深入、透彻,驾驭调控能力很强,教学基本功过硬,课堂气氛活跃,文化气息浓郁,情趣盎然,波澜起伏,创新意识强,有鲜明的教学特色,充分调动学生的积极性,很好地达成多元化的教学目标

2  “五级品位”教学实例

    上面是“务虚”,下面来“务实”,举出具体的“五级品位”的课例,并说明评判定位的理由。

    废品课例:数学归纳法

    此节课成功的例子还真不少,笔者也多次写过韦关此节课内容的文章。但这节课,也许执教者太想“赶凡脱俗”了,过分强烈的“创新意识”使他挣脱了应苇的准绳和迷失了基本方向,竟试图用所谓的“高观点统领教学,结果弄巧成拙、事与愿违.他将最小正塞数、无穷大等高深理论引进课堂,使学生感到一头喜水,他还以批判性的口吻指出:“严格地说,数学归纳法的实质并不是归纳,而是演绎。特别是从n=k到n=k+1的推理更是典型的演绎推理”,使学生产生了思维混乱。从n=k到n=k+1的推理确实是演绎推理,但决无必要告知学生。课后有学生反映,本来课前预习时,对数学归纳法的基本原理与实施步骤觉得有点懂了,但听了老师的课后,反而糊涂了。那么此节课取得的只能是负效应,名副其实地归于“废品”之列。

    次品课例:平均变化率

    这也是被“炒”得很热,且施教难度不算太大的一节课.笔者看到几个关于此课题的优秀课例,如文,但也听到了一个不太成功的课例.纵观全节课,明显的存在以下几方面的不足:

    (1)用“登楼梯”的实例引入课题,虽贴近学生生活,但很难突出“变化”这一本质特征。其实某城市在一段时间内温度的变化、刘翔奥运会夺冠、两只青蛙不同命运等实例,都可以使学生感受到“陡增”与“缓增”之间的本质区别。

    (2)对核心内容的处理不到位。此节课最能显示教者理解深度、驾驭能力和表述水平的内容是:直线自然用其斜率来刻画其“陡峭”程度,但函数的图象若是“非直”曲线,那么如何刻画它的“陡峭”程度呢?若曲线在不同区间内有不同的“陡峭”程度,总不能用一个“陡峭”程度来代替整条曲线的“陡峭”程度吧?这时就必须将曲线分成若干段,然后一段一段地来研究各段的“陡峭”程度。但即使分得再细,相关段仍然可能是“非直”的曲线,这时只好用有关斜率来近似地代替这个曲线段的“陡峭”程度,从而引出“平均变化率”的概念。但这节课基本没有体现出来。

    (3)“率”的本质揭示得不够充分。“平均变化率”中的“率”是最为关键的一个词,凡是“率”都是两个量的比,是没有单位的一个数值,或是一个有复合单位的量,应联系一些相关的知识加深学生对“率”的理解。

    (4)失去了一个良机.虽然提到了二次函数,但没有更好地利用研究二次函数y=x2在区间[1,1+a](a>0)上的平均变化率的良机,引导学生理解用直线在区间[1,1+a]上的斜率表示抛物线在区间[1,1+a]上的平均变化率是近似的、粗略的。又当a的值越来越接近于0时,直线在区间[1,1+a]上的斜率就越来越接近于抛物线在区间[1,1+a]上的平均变化率,同时这也为瞬时变化率的教学埋下了伏笔。

    (5)教材中的例题照搬照抄,显示不了教者个人的教学特色,学生已经看过书本上的内容,只有在进行必要的、适当的加工改造后,才能激发起学生的兴趣。

    (6)教学语言平淡无味、哕嗦重复,还有一些常见的语病,如“那么、然后”等用得太多,形成了一种不良的语言习惯。

    虽然此节课也取得了一定的教学效果,但充其量只能算作“次品”。

    正品课例与精品课例

    为节约篇幅,不再另举它例,仅就上例作些必要的说明。

    若克服了上面所指出的六个方面的缺憾,则此节课就顺理成章地成了“正品”。

    若想成为精品,则还需“更上一层楼”。全节课必须体现文[2]所指出的:“数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,认识数学的科学价值、文化价值,提高提出问题、分析和解决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用”等全新理念。这些语言当然不应给学生讲授,但必需渗透这种思想。不可挑明,又要渗透,对于教师来说,是一个大难题。笔者认为,可以这样讲授:为提高刘翔的成绩,就要对他各段的速度做精细的分析与研究,所以在刘翔身后有一个科技班子,其中就有数学手段与数学技术的参与。如例题“甲、乙两人做生意,甲挣了10万元,乙挣了2万元,谁的经营效果好?”(暂略去时间这一因素,没有照抄课本)学生要质疑:“不知道时间,无法判断。”从而突出了“钱数与时间之比得到的是率”这个问题的本质.“平均变化率”概念的达成并不难,但学生还会产生疑问:根本不用“平均变化率”概念也能回答这个问题,为什么要引进似乎有些“故弄玄虚”的名词呢?为什么高中要研究这个简单的问题呢?教师可说:这正说明数学已经进入千家万户,数学已经成为普通公民生存与发展的通用工具,数学已经从历史上的贵族化演变为大众化、平民化。不过我们将来要掌握的是高科技,对数学依赖的程度要高得多,所以要以更高的观点与更广阔的视角来研究这个问题.不久以后大家将会有更深刻的体会。在研究问题“求函数y=x2在区间[xl,x2]上的平均变化率,其中(1)x1=一2,x2=1;(2)xl=一1,x2=l;(3)xl=1,x2=3;(4)xl=1,x2=2;(5)xl=1,x2=1.1;(6)xl=l,x2=1.0l;(7)x1=1,x2=1.001;(8)x1=1,x2=1.0001;(9)x1=1,x2=1+a(a>0)”,学生求得的平均变化率依次为(1)一1;(2)0;(3)4;(4)3;(5)2.1;(6)2.01;(7)2。001;(8)2。0001;(9)2+a,继而知道函数的平均变化率可为正,可为负,可为0;更重要的是发现了当a的值越来越接近于0时,函数y=x2在区间[1,1+a]上的平均变化率越来越接近于常数2这个规律。

    极品课例:“瞬时变化率——导数”是曲线上一点处的切线

    这是极为难上的一节课。曲线的切线,学生并不陌生,初中时就重点研究过圆的切线,到高中又利用一元二次方程根的判别式Δ=0的方法研究过直线与一般曲线相切的问题。而问题就在这里,此时研究的曲线切线的意义与上面切线的意义虽有相同的本质,但表述的方式却大相径庭.请看教材[3]中相关的内容:“设Q是曲线C上不同于户的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线。随着点Q沿曲线C向点P运动,割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为经过点P处最逼近的曲线的直线l,这条直线称为曲线在点户处的切线。”这段文字犹如“天书”,艰深、生涩,其中的“越来越逼近”“无限逼近”“最逼近”,学生读来只能是越来越糊涂.虽然教材在之前做过一番铺垫,特别是“即在很小的范围内以直代曲”也非常精彩,但学生仍然会感到茫然.通达之路是按照文[2]所说的,努力“将数学科学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态”。

    教师:下面这个问题,大家以前就可以解决:求过抛物线C:y=x2上的点P(1,1)的切线l的方程。

    学生:设切线l的方程为y一1=k(x一1)(k存在,且不为0),代人y=x2,化简得x2一kx+(k一1)=0.则由Δ=0,得(k一2)2=0,所以k=2,因此切线l的方程为2x一y一1=0。

    教师:小菜一碟!但今天要郑重告诉大家的是,我们非常熟悉的这种方法落后于时代了!在数学发展史上,熟悉但落后的方法往往被先进但陌生的方法所取代.而在经过一段时间的努力后,陌生一定会渐渐地变为熟悉,那时候定会感到创造新方法的必要性.传神的例子举不胜举,如解决平面图形与空间图形问题的坐标法、向量法、算法、概率统计、矩阵等等,原来不也是十分陌生吗?但现在的感觉真好,又熟悉、又先进、又简便!下面将要研究的一种求切线l方程的新方法也是如此.由这种方法诞生的一个数学新的分支,在18世纪的欧洲掀起了一场伟大的工业革命“浪潮”,成为现代高科技发展的基础,大到航空、航天的研究,小到原子、电子的研究,都离不开这个数学新分支.许多大学的非数学专业,甚至一些有着文科色彩的专业,也都将这个分支作为必学的基础课内容。说了半天,到底是什么样的新方法呢?别紧张,在前面的研究中,我们已经做了充分的准备。

    这是宣言,也是动员,是对学生大脑的预热,是对学生思维的一种良性刺激,是学生心理的“兴奋剂”,也是教学的一种悬念,已“做了充分的准备”又解除了学生的畏惧感.

    教师:在“平均变化率”中,我们研究了函数y=x2在区间[1,1+a]上的平均变化率,即对应的曲线割线的斜率。如图(多媒体课件配合),割线PA1的斜率为k1=4,割线PA2的斜率为k2=3,…。当a的值依次为0.1,0.01,0.001,…时,割线的斜率依次为2.1,2.01,2.001,….大家曾发现了一种奇妙的规律?

    学生:当a的值越来越接近于0时,割线的斜率就越来越接近于切线的斜率2。

    前面已求出的“切线l的斜率为2”,在这里起到召唤、领路与印证的作用,这种作用的意义是巨大的,非此就不可能顺利完成割线向切线的过渡与割线的斜率向切线的斜率的过渡.这里再加上现代数学教学技术的密切配合,学生在生动、具体、形象的画面中渐渐会领悟“越来越逼近”“无限逼近”“最逼近”的意义。这是学生思维的一次突破,下面还要面临又一次重大的突破。

    教师:设曲线C:f(x)=x2上的点P(1,f(1))、Q(1+a,f(1+a)),则割线PQ的斜率为多少?

    学生:k割= 2+a.

    教师:那么当a的值无限趋近于0时,2+a无限趋近于何值呢?

    学生:2+a无限趋近于2.

    教师:所以当a的值无限趋近于0时,如就无限趋近于多少?

    学生:k割无限趋近于k切.

    教师:简单地表示为a→0,则1+a→1;2+a→2;Q→P;k割→k切.

    将大段的讨论内容浓缩为一个简单的式子,显示的是数学符号的神奇、威力与巨大的功能.不过下面还要面临再一次的重大突破。

    教师:设曲线C上的点P(x0,f(x0))、Q(x0+Δx0,f(x0+Δx0))那么割线PQ的斜率为多少?

    学生:k割=[ f(x0+Δx0)—f(x0)]/Δx0,

    教师:其实这里的x0与Δx0。分别是上面的1与a,那么就可知k割怎样?

    学生:当Δx0→0时,k割→k切。

    教师:我很担心,大家是否真的懂了,做一道练习题。求抛物线C:y=x2上点P(2,4)处的切线l的方程.

学生:(经历的是与上面本质完全相同的过程,但由于理解程度的提高,演算的速度大大加快,过程略)……

    教师:怎么样,初步体会到新的先进方法的优越性了吧?否则还要用根的判别式法.不过要指出的是,这里Δx0中的“Δ”与根的判别式“Δ”,两个记号是……?

    学生:风马牛不相及哦!

    学生为获得了新体会、新知识,掌握了新方法,简便地解决了问题,思维有了新突破,且新鲜有趣而朗声大笑.

3最后的几点陈述

    (1)课本是“原著”,教案以及实际上课实施的方案是教者的“改编本”,后者既要忠于“原著”,但又不能囿于“原著”,需要的是教者的智慧与创新,否则后果将“不堪设想”.而教师的智慧与创新需要的是教师的“创作激情”与“创作冲动”。

    (2)本课例是在充分掌握学生数学学习心理的基础上而设计与实施的,需要的是教师与学生之间的换位思考,即教师时时处处要为学生着想,站在学生的角度去思考、去观察、去审视,他们会有哪些困难、疑虑、障碍,再运用巧妙的对策将它们逐一化解。

    (3)本课例体现了一种数学教学普遍适用的理念,即用浅显的问题揭示深刻的道理,用简单的问题展示复杂的道理,用形象的事物表现抽象的道理,用风趣的语言描述枯燥的道理,用特殊的实例研究一般的道理。

    (4)本课例很好地处理了理性思维与悟性思维、逻辑推理与直觉感知、粗犷与细腻、学生为主体与教师为主导之间的辩证统一关系。

    (5)将大段讨论内容浓缩为“a→0,则1+a→1;Q→P;2+a→2;k割→k切”,再得“Δx0→0,则k割→k切”,为后继内容“瞬时速度、瞬时加速度、导数”的教学彻底铺平了道路、扫除了障碍,是学生高中数学学习的一次飞跃。

    (6)综上,本课例能否评定为“极品”呢?当然要辩证地看,在某一时期内,达到某一高度的教学可称为“极品”,但事物是不断发展的,笔者期待着超越本课例的新的“极品”的问世。

摘自《中学数学教学参考》