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再谈“海盗分金”

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“海盗分金”是一个经典的博弈论智力题,载于1999年《科学美国人》杂志的《凶猛海盗的逻辑》曾对该题做出过经典的解析。国内一些科普网站如三思科学网的《海盗分金问题》、果壳网的《海盗博弈论》等文,也曾对“海盗分金”及其推广模式做出过包括逻辑推理及数学模型在内的详细分析。

由于很多“海盗分金”的推广模式都是:除参与分金的海盗数量发生变化外,其它假设前提都不变。因此,除了对“海盗分金”的经典模式进行复述外,本文将要探讨的是:除海盗数量发生变化外,当其它假设条件也变化时,分金的结果会是怎样的。(下文中红字表示发生变化的条件)

经典模式

五个海盗(代号分别为A、B、C、D、E)抢到了100块金子后,希望通过投票对这批金子进行分配,规则是:海盗们按照A、B、C、D、E的顺序提出分配方案,由所有海盗进行表决(包括提案者),如果有50%或更多票数赞同此方案,则依照该方案分金;如果方案不通过,则将提案者投入海里,然后按照顺序由剩余海盗重复上述的提案、投票、执行过程。

假设所有海盗都有以下特点

民主、理性并且非常聪明;
试图将自己的利益最大化(最小化的利益,当然是被投入海里);
如不损害自己利益,都乐于他人被投海;
都不结盟

问题:如果你是海盗A,你的最佳分配方案是什么?

题目解析

在此采用逆向思维法进行倒推。

假设A、B、C已被投海,剩下D、E两人,D的方案将是D100,E0,由于≥50%通过原则,在D必然给自己投票的前提下,无论E是否同意,D的方案必然通过;
假设A、B已被投海,C的方案将是什么呢?理性且聪明的C知道,如果自己被投海,D必然独吞金块(如1所述),E将一无所获。由于海盗们都是理性且聪明的,E当然也能看到这一点,因此,C只要给E一块金块,E将投票支持C的方案,因此,C最终的方案为:C99,D0,E1;
假设A被投海,则B拥有首先发言权,由于他需要50%的支持率,所以他只要分给D一块金块,D则支持他(聪明的D知道,一旦C拥有发言权,自己将一无所获),因此,B的方案为:B99,C0,D1,E0;
当A拥有首先发言权的时候,由于理性且聪明A明白,C和E都无法从B的方案得到好处,只要分给C和E各一块金块,便可保证自己的方案通过。

结论:海盗A的最佳分配方案为:A98,B0,C1,D0,E1。

推广模式I

四个海盗(代号分别为A、B、C、D)抢到了100块金子后,希望通过投票对这批金子进行分配,规则是:海盗们按照A、B、C、D的顺序提出分配方案,由所有海盗进行表决(包括提案者),如果有50%或更多票数赞同此方案,则依照该方案分金;如果方案不通过,则将提案者投入海里,然后按照顺序由剩余海盗重复上述的提案、投票、执行过程。

假设所有海盗都有以下特点

民主、理性并且非常聪明;
试图将自己的利益最大化(最小化的利益,当然是被投入海里);
如不损害自己利益,都不乐于他人被投海;
都不结盟

问题:如果你是海盗A,你的最佳分配方案是什么?

题目解析

本题同样采用倒推法进行解析。

假设A、B已被投海,剩下C、D两人,C的方案将是C100,D0,由于≥50%通过原则,在C必然给自己投票的前提下,无论D是否同意,C的方案必然通过;
假设A已被投海,B的方案将是什么呢?理性且聪明的B知道,如果由C提出方案,C必然独吞金块(如1所述),D将一无所获,所以,假设自己提出独吞金块,D依然是一无所获,由条件“如不损害自己利益,都不乐于他人被投海”可知,D在利益不受损害的情况下(由C分,D的利益是0,由B分,D的利益还是0,D没有损失),不会乐于B被投海,因此D的将支持B的方案。由于海盗们都是理性且聪明的,D当然也能看到这一点,因此,B在独吞金块(保证自己利益最大化)的情况下依然能得到D的投票支持,因此,B最终的方案为:B100,C0,D0;
同理,当A提出独吞金块的方案时,D因为没有可受损的利益(B和C的方案中D的利益都是0),不会乐于A被投海,所以D将支持A的方案。由于海盗们都是理性且聪明的,D当然也能看到这一点,由此,A在独吞金块(保证自己利益最大化)的情况下依然能得到D的投票支持;

结论:海盗A的最佳分配方案为:A100,B0,C0,D0。

推广模式II

四个海盗(代号分别为A、B、C、D)抢到了100块金子后,希望通过投票对这批金子进行分配,规则是:海盗们按照A、B、C、D的顺序提出分配方案,由所有海盗进行表决(包括提案者),如果有50%或更多票数赞同此方案,则依照该方案分金;如果方案不通过,则将提案者投入海里,然后按照顺序由剩余海盗重复上述的提案、投票、执行过程。

假设所有海盗都有以下特点

民主、理性并且非常聪明;
试图将自己的利益最大化(最小化的利益,当然是被投入海里);
对他人被投海不关心
都不结盟

问题:如果你是海盗A,你的最佳分配方案是什么?

题目解析

这类博弈论的题目,应该假设决策者可以根据规则判断其他人对其所选取的方案采取的相应对策,而本题条件“对他人被投海不关心”实际上等于将前提条件中的一个常数(乐于或不乐于他人被投海)变成了一个未知数(要么乐于他人被投海,要么不乐于他人被投海),使得决策者无法判断他人的对策,例如:假设A被投海,B选取独吞的方案,C有可能通过反对获取更大的利益,一定反对。但是对于D来说,无论B的独吞方案是否被通过都无法获得利益,在存在前提“对他人被投海不关心”这个未知数的情况下,D的选择同样也是一个未知数,所以,海盗A、B、C、D四人对于他人被投海的态度存在多种可能性,此题无法给出解答。

之所以对“海盗分金”的推广模式进行探讨,是为了培养针对某些前提发生变化的问题进行灵活思考的能力,对某个问题的兴趣仅仅是从他人那里获得答案是远远不够的,知其然,更要知其所以然。掌握正确的逻辑和数学方法,是应对大千世界快速而繁复变化的基本技能之一。

另外,由上述两种推广模式可以看出,即便假设条件仅发生微小的变化,不仅仅原题的推理方法和数学模型会发生变化,甚至该题目可能会被改编成一个无法得出答案的死题,这就要求出题者在设置此类逻辑题的前提条件时必须具备足够的严谨和认真。

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