你在这里

拿球游戏

桌球,成长吧啊,www.czbaa.com,数学

题目

两个水平在伯仲之间的桌球手A和B决定换一种方式一决胜负,他们在桌上放了一堆球,两人轮流从桌上把球拿走,每次可拿走且必须拿走1至5个球,从球手A开始,拿走最后一个球的人为胜方。问:

当桌球的数目为100个时,A有无必胜策略?
当桌球的数目为96个时,A有无必胜策略?

解析

我们从易到难进行分析:

当桌球的数目分别为1、2、3、4、5时,A必胜。
当桌球的数目为6时,A无论拿走几个,则必然剩下一定数量的球让B一次拿完,因此,A必败。
当桌球的数目为12时,不论A第一轮拿走几个球,B都可以拿走相应数量的球,从而留下6个球(例如,若A拿走1个球,则B拿走5个,若A拿走2个球,则B拿走4个,以此类推),这样,B就可以使A在第二轮拿球时面临步骤2中的局面,因此,A必败。
当桌球的数目为6N时,无论A第一次拿走几个球,B都可以拿走相应数量的球,从而留下6(N-1) 个球,通过归纳法,可证明A必败。

所以,A、B两人无论轮到谁拿球,只要面临6的倍数个球,则己方必败,对方必胜;若面临6N+K个球,其中0<K<6,则第一次拿走K个球,使对方面临6N个球,从而己方必然获胜。

解决方案

1、当桌球的数目为100个时,A可以在第一轮拿走4个球,使得B面临从6的倍数(100-4=16×6)开始拿球的局面,因此,A必胜。

2、当桌球的数目为96个时,由解析可知,因为A面临从6的倍数(96=16×6)开始拿球的局面,因此,A必败。

感兴趣且乐于独立思考的朋友,可以考虑在条件发生变化时,若每次可拿走且必须拿走球的个数为1至6个甚至更多时,解决方案将发生怎样的变化。

http://www.scipark.net/archives/1135