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关于复数的一些补充

新版高中教材对复数内容进行了极大的删减,使得我们对于复数的认知还停留在最原始的阶段。殊不知,复数的应用非常广泛。现参考《高中数学·甲种本》以及搜集的一些资料,包括做过的例题,整理一下关于复数的内容。

一、复数的概念

1.1 数的概念的发展

数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在原始社会末期,由于记数的需要,人们就建立起自然熟的概念。自然数的全体构成自然数集`N`。

随着生产和科学的发展,熟的概念也得到了发展。

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求,人们引进了零和负数,把自然数看作正整数,把正整数、零、负整数合并在一起,构成整数集`Z`。

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们又引进了有理数,规定他们就是一切形如`\frac{m}{n}`的数,其中`m∈Z,n∈Z^+`。这样,就把整数集Z扩大为有理数集`Q`。显然,`Z⊂Q`。如果把整数看作分母为`1`的分数,那么有理数实际上就是分数集。

每一个有理数都可以表示成整数、有限小数或循环节不为`0`的循环小数;反过来,整数、有限小数或循环节不为`0`的循环小数也都是有理数。如果把整数、有限小数都看作循环节为`0`的循环小数,那么有理数集实际上就是循环小数的集合

为了解决有些量与量之间的比值(例如用正方形的边长去度量它的对角线所得结果)不能用有理数表示的矛盾,人们又引入了无理数。所谓无理数,就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R。因为有理数都可以看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集就是小数集。

从解方程来看,方程`x+5=3`在自然数集`N`中无解,在整数集Z中就有一个解`x=−2`;方程`3x=5`字整数集`Z`中无解,在有理数集`Q`中就有一个解`x=53`;方程`x^2=2`在有理数集`Q`中无解,在实数集`R`中就有两个解`x=±\sqrt{2}`。但是,熟的范围扩充到实数集`R`以后,象`x2=−1`这样的方程还是无解,因为没有一个实数的平方等于`−1`。在十六世纪,由于解方程的需要,人们开始引进一个新数`i`,叫做虚数单位,并规定:

它的平方等于`−1`,即
$$i^2=−1;$$
实数与它进行四则运算时,所有的加、乘运算律仍然成立。

在这种规定下,`i`可以与实数`b`相乘,再同实数`a`相加,由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成`a+bi`。人们把它们叫做复数。全体复数所成的集合,一般用字母`C`来表示。[1]

[1] `C`是英文词组Complex numbers(复数)的第一个字母。

在这种规定下,`i`就是`−1`的一个平方根。因此,方程`x2=−1`在复数集`C`中就至少有一个解`x=i`。

十八世纪以后,复数在数学、力学和电学中得到了应用。从此对它的研究日益展开。现在复数已成为科学技术中普遍使用的一种数学工具。

1.2 复数的有关概念

复数`a+bi`(`a,b∈R`。以后说复数`a+bi`时,都有`a,b∈R`),当`b=0`时,就是实数;当`b≠0`时,叫做虚数,当`a=0,b≠0`时,叫做纯虚数;`a`与`b`分别叫做复数`a+bi`的实部与虚部。例如,`3+4i,−12−\sqrt{2}i,−0.5i`都是虚数,它们的实部分别是`3,−12,0`,虚部分别是`4,−2√,−0.5`。

显然,实数集`R`是复数集`C`的真子集,即`R⊂C`。

如果两个复数`a+bi`与`c+di`的实部与虚部分别相等,我们就说这两个复数相等,记作`a+bi=c+di`,这就是说,如果`a,b,c,d∈R`,那么

$$a+bi=c+di⇔a=c,b=d,a+bi=0⇔a=b=0.$$

例:已知`(2x−1)+i=y−(3−y)i`,其中`x,y∈R`。求`x`与`y`。

解:根据复数相等的定义,得方程组`\left\{\begin{matrix} 2x-1=y,\\ 1=-\left ( 3-y \right ). \end{matrix}\right.`解得`x=52`,`y=4`。

从复数相等的定义,我们知道,任何一个复数`z=a+bi`,都可以由一个有顺序的实数对`(a,b)`唯一确定。这就使我们能借用平面直角坐标系来表示复数`z=a+bi`。如图1,点`Z`的横坐标是`a`,纵坐标是`b`,复数`z=a+bi`可用点`Z(a,b)`来表示。这个建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面,`x`轴叫做实轴,`y`轴除去原点的部分叫做虚轴(因为原点表示实数`0`,原点不在虚轴上)。表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在轴上。

   复数关于x轴对称

 

很明显,按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应。由此可知,复数集`C`和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。这是复数的一个几何意义。

当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数(当虚部不等于`0`时也叫做互为共轭虚数)。复数`z`的共轭复数可以用`\overline{z}`来表示,也就是说,复数`z=a+bi`的共轭复数是`\overline{z}=a−bi`。显然,复平面内表示两个互为共轭复数的点`Z`与`\overline{z}`关于实轴对称(图2),而实数`a`(即虚部为`0`的复数)的共轭复数仍是`a`本身。

两个实数可以比较大小。但是两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小。对于这个命题的证明,将稍后给出。

1.3 复数的向量表示

在物理学中,我们经常遇到力、速度、加速度、电场强度等,这些量,除了要考虑它们的绝对值大小以外,还要考虑它们的方向。我们把这种既有绝对值大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段来表示,线段的长度就是这个向量的绝对值(叫做这个向量的模),线段的方向(用箭头表示)就是这个向量的方向。模相等且方向相同的向量,不管它们的起点在哪里,都认为是相等的向量。在这一规定下,向量可以根据需要进行平移。模为零的向量(它的方向是任意的)叫做零向量。规定所有零向量相等。

复数可以用向量来表示。如图3,设复平面内的点Z表示复数`z=a+bi`,连结`OZ`,如果我们把有向线段`OZ`(方向是从点`O`指向点`Z`)看成向量,记作`\vec{OZ}`,就把复数同向量联系起来了。很明显,向量`\vec{OZ}`是由点`Z`唯一确定的;反过来,点`Z`也可由向量`\vec{OZ}`唯一确定。因此,复数集`C`与复平面内所有以原点`O`为起点的向量所成的集合也是一一对应的。为方便起见,我们常把复数`z=a+bi`说成点`Z`或者说成向量`\vec{OZ}`。此外,我们还规定,相等的向量表示同一个复数。

图3中的向量`\vec{OZ}`的模(即有向线段`OZ`的长度)`r`叫做复数`z=a+bi`的模(或绝对值)记作`|z|`或`|a+bi|`。如果`b=0`,那么`z=a+bi`是一个实数`a`它的模就等于`|a|`(即`a`在实数意义上的绝对值)。容易看出,

$$\left | z \right |=\left | a+bi \right |=r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.$$

例1:求复数`z_1=3+4i`及`z_{2}=-\frac{1}{2}-\sqrt{2}i`的模,并且比较它们的模的大小。

解:`\left | z_{1} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\left | z_{2} \right |=\sqrt{\left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}=\frac{3}{2}.`又`5 > \frac{3}{2}`,故`\left | z_{1} \right | > \left | z_{2} \right |`。

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