你在这里

导数及其应用

百科词条

3.函数的最大(小)值与导数

函数的最大(小)值与导数 一般地, 求函数 `y=f(x)` 在 `[a,b]` 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数 `y=f(x)` 在 `(a,b)` 内的极值; (2)将函数 `y=f(x)` 的各极值与端点处的函数值 `f(a),f(b)` 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注:函数的极值点一定有意义.
百科词条

2.函数的极值与导数

2.函数的极值与导数 极值  极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值(extreme value). 极值的判别方法: 极值是在 `x_0` 附近所有的点,都有 `f(x)<f(x_0)`,则 `f(x_0)` 是函数 `f(x)` 的极大值,极小值同理. 当函数 `f(x)` 在点 `x_0` 处连续时, ①如果在 `x_0` 附近的左侧 `f'(x)>0`,右侧 `f'(x)<0`, 那么 `f(x_0)` 是极大值; ②如果在 `x_0` 附近的左侧 `f'(x)<0`,右侧 `f'(x)>0`,那么 `f(x_0)` 是极小值. 也 就是说 `x_0` 是极值点的充分条件是 `x_0` 点两侧导数异号,而不是 `f'(x)=0`(注释①). 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点(注释②). 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注释①: 若点 `x_0` 是可导函数 `f(x)` 的极值点, 则 `f'(x)=0`. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其...
百科词条

1.函数的单调性与导数

函数的单调性与导数 (1)函数单调性的判定方法:设函数 `y=f(x)` 在某个区间内可导,如果 `f'(x)>0`,则 `y=f(x)` 为增函数;如果 `f'(x)<0`,则 `y=f(x)` 为减函数. (2)常数的判定方法: 如果函数 `y=f(x)` 在区间 `I` 内恒有 `f'(x)=0`,则 `y=f(x)` 为常数. 注: ① `f(x)>0` 是 `f(x)` 递增的充分条件,但不是必要条件,如 `y=x^3` 在 `(-\infty, +\infty)` 上并不是都有 `f(x)>0`, 有一个点例外即 `x=0` 时 `f(x)=0`,同样 `f(x)<0` 是 `f(x)`递减的充分非必要条件. ②一般地,如果 `f(x)` 在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么 `f(x)` 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
百科词条

导数的应用

导数的应用
百科词条

导数几何意义

导数的几何意义 函 数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 处的导数的几何意义就是曲线 `y=f(x)` 在点 `(x_0,f(x_0))` 处的切线的斜率,也就是说,曲线 `y=f(x)` 在点 `P(x_0,f(x_0))` 处的切线的斜率是 `f'(x_0)`,切线方程为 `y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)`. 导数的物理意义 设`t = 0`时刻一车从某点出发,在`t`时刻车走了一定的距离`S = S\left( t \right).`在`{t_0} \to {t_1}`时刻,车走了`S\left( {{t_1}} \right) - S\left( {{t_0}} \right),`这一段时间里车的平均速度为`\frac{{S\left( {{t_1}} \right) - S\left( {{t_0}} \right)}}{{{t_1} - {t_0}}},`当`{t_0}`与`{t_0}`很接近时,该平均速度近似于`{t_0}`时刻的瞬时速度.若令`{t_1} \to {t_0}`,则可以认为`t_0` 时刻的瞬时速度为$$\mathop {\lim }\...
百科词条

导数的概念

导数的概念 1.导数(导函数的简称)的定义:设 `x_0` 是函数 `y=f(x)` 定义域的一点,如果自变量 `x ` 在 `x_0 ` 处有增量 `\Delta x`,则函数值 `y` 也引起相应的增量 `\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)`; 比值 $$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$称为函数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 到 `x_0+\Delta x` 之间的平均变化率; 如 果极限 $$\lim_{x \to x_0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$$ 存在,则称函数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 处可导,并把这个极限叫做 `y=f(x)` 在 `x_0` 处的导数,记作 `f'(x_0)\; ` 或 `y^\prime (x_0) 、 \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ri...
百科词条

导数的计算

几种常见函数的导数 `C'=0` (C为常数) `(\sin x)'=\cos x` `(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}` `(x^n)'=nx^{n-1}~\, (n\in R)` `(\cos x)'=-\sin x` `(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}` `(\ln x)'=\dfrac{1}{x}` `(\log_ax)'=\dfrac{1}{x \ln a}` `(\arctan x)'=\dfrac{1}{x^2+1}` `(e^x)'=e^x` `(a^x)'=a^x \ln a` `(arc \cot x)'=-\dfrac{1}{x^2+1}` 导数的运算法则 `[cf(x)]'=cf'(x)`; `[f(x) \pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)`; `[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)`; `\left [ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right ]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^...
百科词条

凸函数 凹函数

凸函数 凹函数 凸函数定义:  设 `f(x)` 定义于 `[a,b]`,`∀x_1,x_2∈[a,b]`, 都有\(f(\frac{{{{\rm{x}}_1} + {x_2}}}{2}) \le \frac{{f(x{{\kern 1pt} _1}) + f({x_2})}}{2}\),则称\(f(x)\)在 `[a,b]` 上的凸函数. 等价的有: 若 `f[tx_1+(1−t)x_2]≤tf(x_1)+(1−t)f(x_2),0<t<1` 则称 `f(x)` 为 `[a,b]` 上的凸函数; 若 `f[tx_1+(1−t)x_2]≥tf(x_1)+(1−t)f(x_2),0<t<1` 则称 `f(x)` 为 `[a,b]` 上的凹函数. 凸函数 凹函数 函数凹凸性的判定: 定理1:设\(f\)为\((a,b)\)上的可导函数,那么\(f\)为\((a,b)\)上的凸函数的充要条件为其导函数\(f'\)在\((a,b)\)上不减.特别地,当\(f\)二阶可导时,\(f\)为\((a,b)\)上的凸函数的充要条件其二阶导数\(f'' \ge 0\)在\...
百科词条

定积分

定积分的概念 定积分概念: 如果函数 `f(x)` 在区间 `[a,b]` 上连续, 用分点$$ a=x_0<x_1< \cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots <x_n=b $$将区间[a,b]等分成 `n` 个小区间, 在每个小区间 `[x_{i-1},x_i]` 上任取一点 `\xi~(i=1,2,\cdots,n)`, 作和式$$\begin{matrix} \sum_{i=1}^N f(\xi_i)\Delta x=\sum_{i=1}^N \frac{b-a}{n}f(\xi_i)\end{matrix},$$ 当 `n \to \infty` 时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫函数 `f(x)` 在区间 `[a,b]` 上的定积分(definite integral), 记作 `\int_{a}^{b} f(x) \, dx` , 即 $$\begin{matrix} \int_{a}^{b} f(x)\, dx=\lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^N \frac{b-a}{n}f(\...
百科词条

导数及其应用

导数及其应用
百科词条

基础自测

导数应用

曲线 $y = {x^3}-2x + 4$ 在点 `(1,3)` 处的切线的倾斜角为( ) A. `30^{\circ}` 选择错误. B. `45^{\circ}` 选择正确. C. `60^{\circ}` 选择错误. D. `120^{\circ}` 选择错误.
基础自测

资料下载

谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法

谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法 艾书学
资料下载

过一点作曲线的切线问题.doc

过一点作曲线的切线问题 吉林磐石  周喜瑞 (来源于网络)
资料下载

一类导数零点不可求的题型解析

一类导数零点不可求的题型整理 吉林磐石  周喜瑞 (来源于网路)
资料下载

阅读或分享

谈高观点下的高中数学课堂教学

来源于网络 谈高观点下的高中数学课堂教学 新课程改革地进行着,新课改对教师的要求提到了更高的层次,如何全方位地把握高中数学教学,能不能高观点下驾驭中学数学内容也成了衡量一位高中数学教师够不够胜任的重要标准之一。聆听过一些专家的报告,感觉到高观点下的高中数学教学逐渐成为新课程改革的一种趋势。 一、对“高观点”的认识: 查阅相关文献,就目前我国数学教育工作者对这一思想的认识主要有: ①在现代数学观点下,沟通高等数学与初等数学的联系。 ②用高等数学的知识去统一初等数学的松散体系,用高等数学的思想方法去总结初等数学的解题规律,用高等数学的理论对初等数学作新推广和深发展。 ③通过简要介绍并适当补充与中学数学的密切联系的现代数学内容,用较高的观点研究初等数学,分析研究初等数学的重要概念、思想和方法,研究现代数学与初等数学的联系,从而使中学数学教材教法得到居高临下、深入浅出地理解和处理。 ④结合现代数学思想方法,对中学数学教材中那些讲得不透彻的、薄弱的内容,加以分析、充实、提高,帮助教师更好地把握教材。 二.“高观点”下的高中数学教学的理解。 今天所讲的“高观点下课堂教学”趋向于上面认识中的第三种。...
阅读或分享

高中数学课程

52.求曲边梯形的面积

思路提示 函数`y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)`与直线`x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)`围成曲边梯形的面积为`S = \int_a^b {|f\left( x \right) - g\left( x \right)|dx} `,具体思路是:先作出所涉及的函数图象,确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数,被积函数左、右边界分别是积分下、上限.
高中数学课程

51.定积分的计算

思路提示 对于定积分的计算问题,若该定积分具有明显的几何意义,如圆的面积等,则利用圆面积计算,否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算.
高中数学课程

50.导数在实际问题中的应用

思路提示 导数在实际问题中的应用主要用于生活中的优化问题,思路是选取适当自变量列函数式求最值,这里根据实际问题存在最值,若`f'\left( x \right) = 0`只有一个点,即为极值点,也就是所求最值(间峰函数).
高中数学课程

49.利用导数证明不等式

思路提示 利用导数证明不等式常用的方法是构造辅助函数,通过构造辅助函数将不等式的证明问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题.
高中数学课程

48.不等式恒成立与存在性问题

思路提示 在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围,一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解,可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数. (1)若函数`f\left( x \right)`在区间D上存在最小值`f{\left( x \right)_{\min }}`和最大值`f{\left( x \right)_{\max }}`,则 不等式`f\left( x \right) > a`在区间D上恒成立` \Leftrightarrow f{\left( x \right)_{\min }} > a`; 不等式`f\left( x \right) \ge a`在区间D上恒成立` \Leftrightarrow f{\left( x \right)_{\min }} \ge a`; 不等式`f\left( x \right) < b`在区间D上恒成立` \Leftrightarrow f{\left( x \right)_{\max }} < b`; 不等式`f\left( x \right) \le b`在区间D上恒成立` \L...
高中数学课程

页面

订阅 导数及其应用