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数列

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递推数列

1. \({a_{n + 1}} = {a_n} + f\left( n \right)\)类型 方法:迭加法(累加法). \({a_2} = {a_1} + f\left( 1 \right)\),\({a_3} = {a_2} + f\left( 2 \right)\),…,\({a_n} = {a_{n - 1}} + f\left( {n - 1} \right)\), 得\({a_n} = {a_1} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^{n - 1} f\left( k \right)\). 2. \({a_{n + 1}} = {a_n}f\left( n \right)\)类型 方法:迭代法. \({a_2} = {a_1}f\left( 1 \right)\),\({a_3} = {a_2}f\left( 2 \right)\),…,\({a_n} = {a_{n - 1}}f\left( {n - 1} \right)\), 得\({a_n} = {a_1}\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {f\left( k \r...
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等比数列

等比数列 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比,公比通常用字母 `q` 表示 ` (q≠0)`. 等比中项:与等差中项的概念类似,如果在 `a` 与 `b` 中间插入一个数 `G`,使 `a,G,b` 成等比数列,那么 `G` 叫做 `a` 与 `b` 的等比中项. 如果 `G` 是 `a` 与 `b` 的等比中项,那么 ` \frac{G}{a}=\frac{b}{G} `,即 `G^2=ab`, 因此, `G=±\sqrt{ab}` 反过来,如果 `a,b` 同号,`G` 等于 `\sqrt{ab}` 或 `-\sqrt{ab}`,即 `G^2=ab`,那么 `G` 是 `a、b` 的等比中项. 等比数列的前n项和公式: `S_n=\begin{cases} na_1~~(q=1) \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}~~(q\neq 1) \end{cases}`. 注:对公比为字母 `q` 的等比数列求和时,要对 `q`...
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等差数列

等差数列 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母`d`表示. 等差数列的图象:在直角坐标系中,等差数列的图象是线性等距离的离散点集. 当 `d>0` 时,等差数列图象为: 当 `d<0` 时,等差数列图象为: 当 `d=0` 时,等差数列图象为: 等差中项:如果`a,A,b`成等差数列,那么`A`叫做`a`与`b`的等差中项. 容易看出,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 其中满足: `2A=a+b`. 等差数列的通项公式:`a_n=a_1+(n-1)d` ( `d`为公差). 等差数列的前n项和公式: `S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d `,当`d≠0`时,`a_n` 是 `n` 的一次函数,`S_n` 是 `n` 的二次函数(无常数项) 等差数列的判定方法 (1)定义法:`a_{n+1}-a_n=d`(常数)`\iff \{a_n\}` 是...
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立方和公式

立方和公式 立方和公式: 这里指的是从自然数1开始的连续自然数的立方和. `1^3 + 2^3 + \cdots + n^3= \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2` 立方和公式证明 取公式:`(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1` 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出: `(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1` …………⑴ `N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1` …………⑵ ` (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1 ` …………⑶ ………… ` 2^4-1^4=4\times1^3+6\times1^2+4\times1+1 ` …………(n). 于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有 左边= ` (N+1)^4-1 ` ; 右边= ` 4(1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+N^2)+4(1+2+3+\cdots+N)+N ` ....
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常见自然数列和

求和 展开式 求和公式 \(\sum_{k=1}^n k\) = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + n = (n2 + n) / 2 = (1/2)n2 + (1/2)n \(\sum_{k=1}^n k^2\) = 1 + 4 + 9 + 16 + .. + n2 = (1/6)n(n+1)(2n+1) = (1/3)n3 + (1/2)n2 + (1/6)n \(\sum_{k=1}^n k^3\) = 1 + 8 + 27 + 64 + .. + n3 = (1/4)n4 + (1/2)n3 + (1/4)n2 \(\sum_{k=1}^n k^4\) = 1 + 16 + 81 + 256 + .. + n4 = (1/5)n5 + (1/2)n4 + (1/3)n3 - (1/30)n \(\sum_{k=1}^n k^5\) = 1 + 32 + 243 + 1024 + .. + n5 = (1/6)n6 + (1/2)n5 + (5/12)n4 - (1/12)n2 \(\sum_{k=1}^n k^6\) = 1 + 64 + 729 + 4096...
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平方和公式

平方和公式 平方和公式: 指的是从1开始的连续自然数的平方的和. \(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\) 证明方法 证法一:(归纳猜想法) (1)当 `n=1` 时,\(1=\frac{1\left(1+1\right)\left(2\times1+1\right)}{6}=1\) 公式成立; 当 `n=2` 时,\(1+4=\frac{2\left(2+1\right)\left(2\times2+1\right)}{6}=5\) 公式成立; (2)设 `n=k` 时,公式成立,即 \(1+4+9+\cdots+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}.\) (3)则当 `n=k+1` 时, \(\begin{align} 1+4+9+\cdots+k^2+\left(k+1\right)^2 & =\frac{k\left(x+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\\ &=\frac{...
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数列

数列有关概念 数列: 按一定次序排列的一列数. 项: 数列中的每一个数都叫这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,……第n项,…… 数列的一般形式可以写成 `a_1,a_2,a_3,…,a_n,……` , 其中`a_n`是数列的第 `n` 项,有时我们把上面的数列简记作 `\{a_n\}`.  通项公式: 如果数列 `\{a_n\}` 的第 `n` 项 `a_n` 与 `n` 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式,如数列`1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},`……,的通项公式为`a_n=\frac{1}{2^n}`. 递推公式:如果已知数列 `\{a_n\}` 的第1项(或前几项),且任一项`a_n`与它的前一项`a_{n-1}`(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法,如在数列 `\{a_n\}` 中,`a_1=1`,以后各项中公式`a_n=1+ \frac{1}{a_{n-1}}`给出,也可求这个数列中的任意一项....
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基础自测

数列

已知数列`\{a_n\}`的通项公式`a_n=n^2-3n-4(n\in N^*)` ,则`a_4`等于( ) A. `1` 选择错误. B. `2` 选择错误. C. `3` 选择错误. D. `0` 选择正确.
基础自测

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数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

数列的通项公式练习题(通项式考试专题)
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特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项
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高中数学课程

81.1等差、等比数列的求和--公式法

公式法(准确记忆公式,合理选取公式)
高中数学课程

80.3求数列的通项

求数列的通项 `a_n`
高中数学课程

80.2求等比数列的公比

求等比数列的公比
高中数学课程

80.1求等差数列的公差及公差的取值范围

求等差数列的公差及公差的取值范围
高中数学课程

数学题库

数列

3. 设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_2=3$, $a_6=11$, 则 $S_7$ 等于 (   ) A. $13$ B. $35$ C. $49$ D. $63$
数学题库

等比数列

4. 已知各项均为正数的等比数列 $\big\{a_n\big\}$ 中, $a_1 a_2a_3=5$, $a_7a_8a_9=10$, 则 $a_4a_5a_6=$        A. $5\sqrt{2}$ B. $7$ C. $6$ D. $4\sqrt{2}$ 
数学题库

7

7.在各项均为正数的等比数列 `\{ {a_n}\}` 中,`{a_2} = 1,``{a_8} = {a_6} + 2{a_4}`,则 `{a_6}` 的值是       .
数学题库

数列

7. 设 $\{a_n\}$ 是首项大于零的等比数列, 则“$a_1 < a_2$”是“数列 $\{a_n\}$ 是递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
数学题库

8等比数列

8. 设等比数列 `\{ {a_n}\}` 的前 `n` 项和为 `{S_n}`, 若 `{S_2} = 3`,`{S_4} = 15`,则 `{S_6} =` (    ) A.31 B.32 C.63 D.64
数学题库

8.数列

8. 已知两个等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项分别为 $A_n$ 和 $B_n$, 且 $\dfrac{A_n}{B_n}=\dfrac{7n+45}{n+3}$, 则使得 $\dfrac{a_n}{b_n}$ 为整数的正整数 $n$ 的个数是 A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $5$
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