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数系的扩充与复数

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复数:  我们把集合 `C=\{a+bi | a,b\in R \}` 中的数, 即形如 `a+bi` (`a,b\in R`) 的数叫做复数(complex number), 其中 `i` 叫做虚数单位(imaginary unit).

复数集:  全体复数所成的集合 `C` 叫做复数集(set of complex numbers).

复数的代数形式:  复数通常用字母 `z` 表示, 即 `z=a+bi\, (a,b\in R)`, 这一表示形式叫做复数的代数形式(algebraic form of complex number).

实部、虚部:  对于复数 `z=a+bi\, (a,b\in R)`, 其中的 `a` 与 `b` 分别叫做复数 `z` 的实部(real part) 与虚部(imageinary part).

虚数、纯虚数: `a+bi,(b\neq 0)` 叫虚数, `bi,(b\neq 0)` 叫做纯虚数.

数集的关系:  

`复数~z:(a+bi) \begin{cases}实数~(b=0) \\虚数~(b=0) \begin{cases}
一般虚数(a\neq 0 , b\neq 0) \\纯虚数(a= 0 , b\neq 0) \end{cases} \end{cases}`

复数集与其它数集之间的关系:`N\varsubsetneqq  Z\varsubsetneqq  Q\varsubsetneqq  R\varsubsetneqq  C`.

两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等 即:如果 `a,b,c,d∈R`,那么 `a+bi=c+di \iff a=c,b=d`.

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小. 如果两个复数都是实数,就可以比较大小. 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.

复平面、实轴、虚轴: 点 `Z` 的横坐标是 `a`,纵坐标是 `b`,复数 `z=a+bi(a、b∈R)` 可用点 `Z(a,b)` 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,`x` 轴叫做实轴,`y` 轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为 `(0,0)`, 它所确定的复数是 `z=0+0i=0` 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数

复数集 `C` 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 $$\fbox {$ 复数~z=a+bi~ \begin{matrix} 一一对应 \\  \longleftrightarrow   \end{matrix}  ~复平面内的点~ Z(a,b) $} $$

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义. 也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.

复数与平面向量的关系:

若 `A(a,b),~O(0,0)`, 则 `\vec{OA}=(x,y)`.即$$\fbox {$ 复数~z=a+bi~ \begin{matrix} 一一对应 \\  \longleftrightarrow   \end{matrix}  ~平面向量~ \vec{OZ} $}$$

若 `a=(x_1,y_1),~b=(x_2,y_2)`, 则 `a+b=(x_1+x_2,~y_1+y_2)`, `a-b=(x_1-x_2,~y_1-y_2)`, 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若 `a=(x_1,y_1),~b=(x_2,y_2)`, 则 `\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)` 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.即$$\fbox {$ \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1) $} $$

  • 复数的四则运算

(1)复数代数形式的加减运算及其几何意义复数加法

复数的加法法则:

设 `z_1=a+bi,~z_2=c+di` 是任意两个复数, 那么$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$

对任意 `z_1,z_2,z_3\in C`, 有

$$z_1+z_2=z_2+z_1,$$

$$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3).$$

复数加法的几何意义

设 `\vec{OZ_1}`, `\vec{OZ_2}` 分别于复数 `a+bi,~c+di` 对应, 则 `\vec{OZ_1}=(a,b),~\vec{OZ_2}=(c,d)`. 由平面向量的坐标运算, 得$$\vec{OZ_1}+\vec{OZ_2}=(a+c,b+d).$$这说明两个向量 `OZ_1` 与 `OZ_2` 的和就是与复数 `(a+c)+(b+d)i` 对应的向量.

(2)复数代数形式的乘除运算

复数的乘法法则:

设 `z_1=a+bi,~z_2=c+di` 是任意两个复数, 那么它们的积$$(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i. $$

对任意 `z_1,z_2,z_3\in C`, 有

$$z_1·z_2=z_2·z_1,$$

$$(z_1·z_2)·z_3=z_1·(z_2·z_3),$$

$$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3.$$

复数的除法法则:

$$(a+bi)\div(c+di)=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i~(c+di\neq 0).$$

常用公式:

`|z{|^2} = z \cdot \overline z ` 特别地,若 `|z| = 1`,则 $\overline z  = \frac{1}{z}$.