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推理与证明

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  • 合情推理与演绎推理

1.合情推理

合情推理含归纳推理和类比推理两种基本推理方法.

(1)归纳推理:根据某类事物的部分对象具有的某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理,是“部分到整体,个别到一般”的推理,属不完全归纳推理.

(2)类比推理:两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有相似特征的推理,是“特殊到特殊”的推理.

2. 演绎推理

演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理. 常用的演绎推理规则有:[[假言推理|假言推理]];[[三段论推理|三段论推理]];传递性关系推理和完全归纳推理. 特别是“三段论”推理,其模式为:

(1)大前提——已知的一般结论;

(2)小前提——所研究的特殊情况;

(3)结论——根据一般结论,对特殊情况做出判断如下.

①若 `S\in M`,则 `S` 有性质 `P`;

②检验, `S'\in M` ;

③故 `S'` 具有性质 `P` .

  • 直接证明与间接证明

1.直接法

直接法包括综合法和分析法.

(1)综合法:从已知条件和结论出发,以演绎推理中的“三段论”规则为工具,推出未知结论,其模式为$$A\Rightarrow B,B\Rightarrow C,C\Rightarrow D \Rightarrow "A\Rightarrow D ~成立".$$简单的讲: 综合法就是由条件推结果.

(2)分析法:从欲证结论出发,对结论进行等价变形,建立未知结论和已知“条件,结论”的因果关系,其模式为:欲证 `D` 成立即证 `C` 成立,即证 `B` 成立,即要 `A` 成立,因 `A` 成立故 `D` 成立.

简单的讲: 分析法就是由结果去找条件.

2. 间接法  分类讨论法(肯定或排除)

间接法即反证法,就是证明欲证命题的等价命题——逆否命题. 其模式为:欲证若 `p` 则 `q`, 等价证 ` \lnot q ` 则 `\lnot p ` ,可设 `q` 不成立,推出 `p` 不成立或与某已成立结论矛盾 `\Rightarrow` 设 `q` 不成立为错,故 `q` 成立.

  • 数学归纳法

(1)数学归纳法也叫完全归纳法,可用来证明某些与自然数有关的数学命题,其直观模型为“多米诺骨牌”.

(2)数学归纳法的证题格式:

①先证当 `n=n_0`(`n_0`为某一个初始自然数,常取 `n_0=1`)时命题成立(第一块“多米诺骨牌”倒下).
②假设 `n=k(k\geqslant n_0)` 时命题成立,并在此前提下可以推出 `n=k+1` 时命题也成立(每次倒下的骨牌具有“前倒推后倒”的功能).

③由①②,命题对一切 `n\geqslant n_0` 的自然数恒成立.

数学归纳法的完成,①,②,③步缺一不可.