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空间向量与立体几何

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  • 空间向量及其运算

1.空间向量相关概念

空间向量:  在空间, 我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector), 向量的大小叫做向量的长度(modulus).

零向量:  为方便起见, 规定, 长度为 `0` 的向量叫做零向量(zero vector), 记作 `0`. 

单位向量:  模为 `1` 的向量称为单位向量(unit vector).

相反向量:  与向量 `\vec a` 长度相等而方向相反的向量, 称为 `\vec a` 的相反向量, 记作 `-\vec a`.  

相等向量:  方向相同且模相等的向量称为相等向量(equal vector).

 

2.空间向量的数乘运算

与[[平面向量|平面向量]]一样, 实数λ与向量 `\vec{a}` 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 `λ\vec{a}`. 当`λ>0`时,`λ\vec{a}` 的方向和`\vec{a}` 的方向相同,当 `λ<0` 时,`λ\vec{a}`的方向和a的方向相反,当 `λ = 0` 时,`λ\vec{a}=0`, `λ\vec{a}` 的长度是 `\vec{a}` 的长度的 `|λ|`倍.

空间向量的数乘运算满足分配率及结合率:

分配率: `λ(\vec{a}+\vec{b})=λ\vec{a}+λ\vec{b}`;

结合率: `λ(μ\vec(a))=(λμ)\vec{a}`.

共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量(colliner vector) 或平行向量(parallel vector).

任意向量 `\vec{a},\vec{b}(\vec{b}\neq 0)` 平行的充要条件是存在实数 `λ` ,使 `\vec{a}=λ\vec{b}`. 即$$\vec{a}//\vec{b}\iff \vec{a}=λ\vec{b}.$$

共面向量: 平行于同一个平面的向量, 叫共面向量(coplanar vectors). 空间中任意两个向量总是共面的, 但空间中任意三条向量即可能共面, 也可能不公面.

如果两个向量 `\vec{a},\vec{b}` 不共线, 那么向量 `\vec{p}` 与向量 `\vec{a},\vec{b}` 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 `(x,y)`, 使 `\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}`.

 

3.空间向量的数量积运算

数量积:  两个非零向量 `\vec{a},\vec{b}` , 则 `|\vec{a}||\vec{b}|\cos \left \langle \vec{a},\vec{b} \right \rangle` 叫做 `\vec{a}·\vec{b}` 的数量积(inner product), 记作 `\vec{a}·\vec{b}`. 即$$\vec{a}·\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos < \vec{a},\vec{b} > .$$

零向量与任何向量的数量积为 `0`.

`\vec{a}·\vec{a}=|\vec{a}||\vec{a}|\cos < \vec{a},\vec{a} > = |\vec{a}|^2`.

空间向量的数量积满足如下的运算律:

`(λ\vec{a})·\vec{b}=λ(\vec{a}·\vec{b})`;

`\vec{a}·\vec{b}=\vec{b}·\vec{a}` (交换率);

`\vec{a}·(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}·\vec{b}+\vec{a}·\vec{c}` (分配率).

 

4.空间向量的正交分解及其坐标表示

定理  如果三个向量 `\vec{a},\vec{b},\vec{c}` 不共面, 那么对空间任一向量 `\vec{p}`, 存在有序实数组 `\{x,y,z \}`, 使得$$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c} .$$我们把 `\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}` 叫做空间的一个基低(base), `\vec{a},\vec{b},\vec{c}` 都叫基向量(base vectors). 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基低.

 

5.空间向量运算的坐标表示

设 `\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)`, 则 

`\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,~a_2+b_2,~a_3+b_3), `

`\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,~a_2-b_2,~a_3-b_3),`

`λ\vec{a}=(λa_1,λa_2,λa_3),`

`\vec{a}·\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 ,`

`\vec{a}// \vec{b} \iff \vec{a}=λ\vec{b} \iff \vec{a_1}=λ\vec{b_1},~\vec{a_2}=λ\vec{b_2},~\vec{a_3}=λ\vec{b_3}(λ\in R),`

`\vec{a}\bot \vec{b} \iff \vec{a}·\vec{b}=0\iff a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0 ,`

`|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}·\vec{a}}=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}~,`

`\cos <\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}},`

空间直角坐标系中, 已知点 `A(a_1,b_1,c_1),B(a_2,b_2,c_2)`, 则 `A,B` 两点间的距离$$d_{AB}=|\vec{AB}|=\sqrt{(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2+(c_2-c_1)^2} .$$

  • 空间向量在立体几何中的应用

法向量:  垂直于平面的向量叫做平面的法向量(normal vectors).

直线 `l,m` 的方向向量分别为 `\vec{a},\vec{b}`, 平面 `\alpha,\beta` 的法向量分别为 `\vec{u},\vec(v)`, 则

`l//m\iff \vec{a}//\vec{b} \iff \vec{a}=k\vec{b},~k\in R`;

`l\bot m \iff \vec{a}\bot \vec{b} \iff \vec{a}·\vec{b}=0`;

`l// m \iff \vec{a}\bot \vec{u} \iff \vec{a}·\vec{u}=0`;

`l\bot \alpha  \iff \vec{a}// \vec{u} \iff \vec{a}=k\vec{u}, ~k\in R`;

`\alpha // \beta \iff \vec{u}\bot \vec{v} \iff \vec{u}= k \vec{v},~k\in R`;

`\alpha \bot \beta \iff \vec{u}\bot \vec{v} \iff \vec{u}·\vec{v}=0`.

定理  一个平面内的两个相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.