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柯西不等式

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定理1 (二维形式的柯西不等式若 `a,~b,~c,~d`都是实数, 则$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geqslant (ac+bd)^2~,$$ 当且仅当 `ad=bc` 时,等号成立.

由定理1易证得 $$\sqrt{a^2+b^2}·\sqrt{c^2+d^2}\geqslant\left|ac+bd\right|,$$ $$\sqrt{a^2+b^2}·\sqrt{c^2+d^2}\geqslant\left|ac\right|+\left|bd\right|.$$

定理2 (柯西不等式的向量形式) 若 `\vec{\alpha},~\vec{\beta}` 是两个向量, 则 $$\left|\vec{\alpha}·\vec{\beta}\right|\leqslant \left|\vec{\alpha}\right| \left| \vec{\beta}\right|~,$$当且仅当 `\vec{\beta}` 是零向量, 或存在实数 `k` , 使 `\vec{\alpha}=k\vec{\beta}` 时, 等号成立.

用向量`\vec{\alpha}(a,~b),~\vec{\beta}(c,~d)` 的坐标表示, 得 $$\left|ac+bd\right|\leqslant \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}~.$$

柯西不等式一般形式: 设 `a_1,~a_2,~a_3,\cdots,a_n,~b_1,~b_2,~b_3,\cdots,~b_n` 是实数, 则 $$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \geqslant (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$$ $$(a_i,~b_i \in R,~i=1,2,\cdots,n)~,$$ 也可以简写为 $$\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {a_i^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {b_i^2} } \right) \geqslant {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}} } \right)^2},$$当且仅当 `b_i=0(i=1,2,3,\cdots,n)` 或存在一个数 `k` , 使得 `a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)` 时, 等号成立.

定理3 (二维形式的三角不等式) 设 `x_1,~y_1,~x_2,~y_2\in R`, 那么$$\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2} \geqslant \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}~.$$

用 `x_1-x_3` 代 `x_1` , 用 `y_1-y_3` 代 `y_1`, 用 `x_2-x_3` 代 `x_2`, 用 `y_2-y_3` 代 `y_2` , 代入定理3 , 得$$\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}\geqslant \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}~.$$

三角不等式一般形式 $$ \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2} +\sqrt{y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2} \geqslant \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2} $$ $$(x_i,~y_i \in R,~i=1,2,\cdots,n)~.$$


柯西不等式一般形式的证明:

法1:若 `{a_1} = {a_2} =  \cdots  = {a_n} = 0` ,则柯西不等式

 `({a_1}^2 + {a_2}^2 +  \cdots  + {a_n}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 +  \cdots  + {b_n}^2) \ge {({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots {a_n}{b_n})^2}` 显然成立.

若 `{a_i}` 不全为零 `(i = 1,2 \cdots n)` ,令

 `f(x) = (a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2){x^2} + 2({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots  + {a_n}{b_n})x + (b_1^2 + b_2^2 +  \cdots  + b_n^2)` .

一方面,因

 `f(x) = \left( {a_1^2{x^2} + 2{a_1}{b_1}x + b_1^2} \right) + \left( {a_2^2{x^2} + 2{a_2}{b_2}x + b_2^2} \right) +  \cdots  + \left( {a_n^2{x^2} + 2{a_n}{b_n}x + b_n^2} \right)`

 ` = {({a_1}x + {b_1})^2} + {({a_2}x + {b_2})^2} +  \cdots  + {({a_n}x + {b_n})^2} \ge 0`                (*)

另一方面, `a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2 > 0,f(x) \ge 0` 恒成立的充要条件为

 `\Delta  = {\left[ {2({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots  + {a_n}{b_n})} \right]^2} - 4(a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +  \cdots  + b_n^2) \ge 0`    (*)

 ` \Leftrightarrow {({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots  + {a_n}{b_n})^2} \le (a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +  \cdots  + b_n^2)` ,

即柯西不等式,由(*)式知等号成立的条件为 `{a_i} = \lambda {b_i}(i = 1,2 \cdots n).`

法2:平面向量、空间向量推广到 `n` 维向量,令 `\overrightarrow a  = ({a_1}{a_2} \cdots {a_n}),\overrightarrow b  = ({b_1}{b_2} \cdots {b_n})` ,

 `\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots  + {a_n}{b_n}.`

 `\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle ` ,由于 `\left| {\cos \left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle } \right| \le 1,` 故 `\left| {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|`

 ` \Leftrightarrow \left| {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots  + {a_n}{b_n}} \right| \le \sqrt {a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2}  \cdot \sqrt {b_1^2 + b_2^2 +  \cdots  + b_n^2} `  ` \Leftrightarrow {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} +  \cdots  + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le (a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +  \cdots  + b_n^2)` ,

等号成立的条件是 `\overrightarrow a ,\overrightarrow b ` 共线,即 `{a_i} = \lambda {b_i}(\lambda  \in R).`


柯西不等式的推论

推论1:当 `{b_1} = {b_2} =  \cdots  = {b_n} = 1` 时,柯西不等式为

\[n(a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2) \ge {({a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_n})^2}.\]

若 `{a_i} \in {R^ + }(i = 1,2 \cdots n)`,则

\[\sqrt {\frac{{a_1^2 + a_2^2 +  \cdots  + a_n^2}}{n}}  \ge \frac{{{a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_n}}}{n},\]

此即平方平均大于算术平均.