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点直线平面之间的位置关系

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  • 空间点、直线、平面之间的位置关系

1.平面

(1)平面的基本性质:

公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

符号表示: `A\in l,B\in l,~ 且~A\in \alpha ,B\in \alpha~  \Rightarrow~l\subset \alpha`.

 

公理 2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.

公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

符号表示: `P\in \alpha \cap \beta ~\Rightarrow~\alpha \cap \beta =l, ~且~P\in l`.

2.空间中直线与直线之间的位置关系

`\begin{cases} 共面直线 \begin{cases} 相交直线: 同一平面内有且只有一个公共点; \\ 平行直线: 同一平面内没有公共点; \end{cases} \\ 异面直线: 不同在任何一个平面内, 没有公共点. \end{cases}`

如图: `AB` 与 `BC` 相交于 `B` 点, `AB` 与 `A′B′` 平行, `AB` 与 `B′C′` 异面.

立方体

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

3.空间中直线与平面之间的位置关系

(1)直线在平面内……有无数个公共点; 

(2)直线与平面相交……有且只有一个公共点; 

(3)直线与平面平行……没有公共点.

其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

直线与平面之间的位置关系

4.平面与平面之间的位置关系

(1)两个平面平行……没有公共点;

(2)两个平面相交……有一条公共直线.

平面平行     平面与平面相交

  • 直线、平面平行的判定及其性质

1.直线与平面平行的判定

定理  平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.

符号表示: `a \nsubseteq \alpha,b \subset \alpha,~且~a//b~\Rightarrow~a// \alpha`.

2.平面与平面平行的判定

定理  一个平面内的两条相交线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.

符号表示: `a \subset \beta, b \subset \beta , a\cap b=P, a// \alpha , b// \alpha ~ \Rightarrow ~ \beta // \alpha`.

3.直线与平面平行的性质

定理  一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

4.平面与平面平行的性质

定理  如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.

  • 直线、平面垂直的判定及其性质

线线、面面、线面垂直的定义

两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.

线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.

平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.

1.直线与平面垂直的判定

定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.

2.平面与平面垂直的判定

定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

3.直线与平面垂直的性质

定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

4.平面与平面垂直的性质

定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.