你在这里

圆与方程

主标签

  • 圆的方程

圆的定义:  平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.

圆的标准方程:  `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2` 圆心为坐标点 `(a,b)`, 半径为 `r`.

一般方程:  `x^2+y^2+Dx+Ey+F=0`

当 `D^2+E^2-4F>0` 时,方程表示圆,此时圆心为 `\left( -\frac{D}{2},-\frac {E}{2} \right)` ,半径为 `r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}`,

当 `D^2+E^2-4F=0` 时,表示一个点;当 `D^2+E^2-4F<0`时,方程不表示任何图形.

求圆方程的方法: 

待定系数法:先设后求. 确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 `a,b,r`;若利用一般方程,需要求出 `D,E,F`;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.

  • 直线、圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离相切相交三种情况.

判定直线和圆位置关系的常用方法:

(1)设直线 `l:~Ax+By+C=0` ,圆 `C:~(x-a)^2+(y-b)^2=r^2` ,圆心 `C(a,b)` 到 `l` 的距离为 `d=\dfrac{\left|Aa+Bb+C \right|}{\sqrt{A^2+B^2}}`,则有:

①`d>r\iff l~与 ~C~相离`;

②`d=r\iff l~与 ~C~相切`;

③`d<r\iff l~与 ~C~相交`.

(2)设直线 `l:~Ax+By+C=0` ,圆 `C:~(x-a)^2+(y-b)^2=r^2` ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为 `\Delta`, 则有:

①`\Delta <0 \iff l ~与~C~相离`; 

②`\Delta =0 \iff l ~与~C~相切`; 

③`\Delta >0 \iff l ~与~C~相交`;

特别地, 如果圆心的位置在原点,可使用公式 `xx_0+yy_0=r^2` 去解直线与圆相切的问题,其中 `(x_0,y_0)` 表示切点坐标,`r` 表示半径.

过圆上一点的切线方程:

①圆 `x^2+y^2=r^2`,圆上一点为 `(x_0,y_0)`,则过此点的切线方程为 `xx_0+yy_0=r^2`. 

②圆 `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`,圆上一点为 `(x_0,y_0)`,则过此点的切线方程为 `(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)= r^2`.

  • 圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有外离外切相交内切内含.

判定圆和圆位置关系的常用方法: 通过两圆半径的和(或差),与圆心距 (`d`) 之间的大小比较来确定.

设圆 `C_1:~(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r^2`, `C_2:~(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=R^2`. 则有:

①当 `d>R+r` 时两圆外离,此时有公切线四条;

②当 `d=R+r` 时两圆外切,圆心连线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

③当 `R-r<d<R+r` 时两圆相交,圆心连线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

④当 `d=\left|R-r \right|` 时,两圆内切,圆心连线经过切点,只有一条公切线;

⑤当 `d<\left|R-r \right|` 时,两圆内含;当 `d=0` 时,为同心圆.

(1)空间直角坐标系定义:如图,`OBCD-D'A'B'C'` 是单位正方体, 以 `A` 为原点,分别以 `OD,OA',OB` 的方向为正方向,建立三条数轴 `x轴,~y轴,~z轴`.这时建立了一个空间直角坐标系 `Oxyz`.

①`O` 叫做坐标原点;

②`x` 轴,`y` 轴,`z` 轴叫做坐标轴;

③过每两个坐标轴的平面叫做坐标面.

(2)右手表示法: 先将右手的手掌与手指伸直. 然后,将中指指向往手掌的掌面 半空间,与食指呈直角关系. 再将大拇指往上指去,与中指,食指都呈直角关系. 则大拇指,食指,与中指分别表示了右手坐标系的 `x`-轴,`y`-轴,与 `z`-轴

(3)任意点坐标表示:空间一点 `M` 的坐标可以用有序实数组 `(x,y,z)` 来表示,有序实数组 `(x,y,z)` 叫做点 `M` 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 `M(x,y,z)` (`x` 叫做点M的横坐标,`y` 叫做点 `M` 的纵坐标,`z` 叫做点M的竖坐标).

(4)空间两点距离坐标公式: `d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}`.