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悖论

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悖论是指自相矛盾的命题,即如果承认这个命题,就可推出它的否定;反之,如果承认这个命题的否定,又可推出这个命题.

悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。

集合分成两类,凡是不以自身作为元素的集合称为正常集,(例如,自然数集N本身不是一个自然数,因此N是正常集。)凡是以自身作为元素的集合称为异常集。(例如,所有的非生物的集合F也是非生物,因此F是异常集。)

这样,许多日常中常见的悖论(说谎者悖论,理发师悖论,上帝悖论等)都可以归入异常集之中了。

另外一种悖论是关于无限的,虽然我们基本上都能接受极限的理论,但是要把这个理论向那些不懂的人解释还是十分困难的。

这里我们举几个例子进行说明.

1.集合论中的悖论

1)罗素悖论(1903年).我们把集合分成两类:凡不以自身作为元素的集合称为第一类集合;凡以自身作为元素的集合称为第二类集合.很明显,每个集合或者为第一类集合,或者为第二类集合.设以M表示第一类集合全体所成的集合.现考虑M这个集合本身属哪一类集合?如果M为第一类集合,则由第一类集合的定义,M本身不能为M的元素;但根据M的定义,M即为第一类集合,又必须属于M,这是矛盾的.另一方面,如果M为第二类集合,由第二类集合的定义,M本身必须为M的元素;但根据M的定义,属于第二类集合的M不可能属于M,这也是矛盾的.即,不论M为第一类还是为第二类都将导致矛盾,这自然是不合理的.

由于这个悖论中的论证方法是很简单的,并且是数学中常用的,连同下面的悖论,在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大的震动,触发了数学的第三次危机.这表明了集合的定义方法应当加以限制,从而导致了公理集合论的产生.

2)康托尔悖论(1899年).我们将一切集合所组成的集合记为 `S`,`S` 的基数记为 `\bar{S} `. 因为任何集合所组成的集合都是 `S` 的子集, 因此不存在基数大于 `\bar{S} `的集合, 但是, 由[[康托尔|康托尔]]定理可知, `S` 的子集全体所构成的集合的基数一定大于 `\bar{S} ` . 这就出现了矛盾. 

3)布拉利—福尔蒂悖论(1897年).设W为由序数全体构成的集合:W={0,1,2,…,ω,…}.则W为良序集.又设Ω为W的序数.作为W的元素的序数都比Ω小.但是,由W的定义知,任一序数都属于W,故序数Ω也是W的元素,因此有Ω<Ω.而这是矛盾的.

2.关于连续性的悖论

古希腊数学中心埃利亚学派的代表人物芝诺曾提出几个这方面问题的悖论,现列举其中最有名的两个.

1)阿基琉斯(善跑英雄)追龟说.阿基琉斯和乌龟同时分别从A,B两点出发,阿基琉斯在后面追乌龟.当阿基琉斯到达B点时,乌龟前进到B1点;当阿基琉斯到达B1点,乌龟又前进到B2点;…因此,阿基琉斯永远追不上乌龟.

2)飞箭静止说.一支飞箭每一瞬间均在一定的位置上.换句话说,每个瞬间箭都是在其位置上停着的.所以,箭永远不能运动.