你在这里

艾米·诺特

主标签

“据现代权威数学家们判断,诺特女士是自从妇女开始受到高等教育以来最重要的、富于创造性的数学天才。在最有天赋的数学家们为之忙碌了多少世纪的代数领域里.她发现了一套方法,当前一代年轻数学家的成长已证明了它的巨大意义,依据这套方法,纯粹数学成了一首逻辑概念的诗篇。”这是1935年4月26日著名科学家爱因斯坦在追悼诺特的大会上讲的一段话。诺特(EmmyNoether,1882-1935),1882年3月23日生于德国大学城——爱尔兰根的一个犹太人家庭,父亲马克思·诺特(Max Noether,1844-1921)是一位颇有名气的数学家,他从1875年起到1921年逝世前,一直在爱尔兰根大学当教授。弟弟弗黎获·诺特(Fritz Noether,1884~?)也是一位数学家,先在德国布雷斯劳工学院当教授,1935年受纳粹迫害逃往苏联,在西伯利亚托姆斯克数学力学研究所当教授,没多久被关进监狱,从此杳无音信。米•诺特 成长吧啊

诺特12岁时在爱尔兰根市高级女子学校读中学,她对那些专门为女孩子开设的宗教、钢琴、舞蹈等课程毫无兴趣,只对语言学习还感兴趣。中学毕业后,1900年4月她顺利地通过了法语和英语教师资格考试,原本准备去当教师,同年秋天她改变了主意,她决意要到父亲任教的爱尔兰根大学去学数学。但是,当时德国不准女子在大学注册,只能当旁听生,并缴纳听课费,在极其罕见的情况下,才可能征得主讲教授的同意,参加考试而取得文凭。诺特总算幸运地于l903年7月通过了考试。当年冬天,她来到哥廷根大学,直接听到希尔伯特克莱因闵科夫斯基等著名数学家讲课,受到极大的鼓舞。1904年德国大学改制,允许女生注册,当年10月她便正式回到爱尔兰根注册学习,到1907年底,她通过了博士考试,其博士论文题目是“三元双二次型的不变量完全系”,导师是戈丹(Paul Albert Gordan,1837~1912)。

戈丹是诺特父亲的同事、至友,对诺特早年生活影响很大,诺特的这篇博士论文完全承袭了戈丹的工作特色,充满了戈丹式的公式,通篇都是符号演算。后来,尽管诺特离开了戈丹的研究方向,但她对导师一直怀着深深的敬意,在她的书房里一直挂着戈丹的画像。1912年戈丹去世了,接替他的先是施密特,后是费歇尔。在费歇尔指导下,诺特逐步实现了从戈丹的形式观念到希尔伯特研究方式的转变,从这种意义上讲,费歇尔对诺特的学术发展的影响,可能比戈丹更深入。

1915年,哥廷根大学的克莱因、希尔伯特邀请诺特去哥廷根。他们当时热衷于相对论研究,而诺特在不变式理论方面的实力对他们的研究会有帮助。1916年,诺特离开爱尔兰根,定居哥廷根。希尔伯特很想帮她在哥廷根大学取得授课资格,但是当时哥廷根大学哲学系中的语言学教授、历史学教授却极力反对,其理由就因诺特是女人。希尔伯特在校务会议上不无气愤地说:“先生们,我不明白为什么候选人的性别是阻碍她取得讲师资格的理由,我们这里毕竟是大学而不是浴池。”也许正因为这般话,更激怒了他的对手们,诺特仍然没有获准通过。然而,她还是在哥廷根的讲台上向学生讲了课,不过是在希尔伯特的名义之下。第一次世界大战结束后,德意志共和国成立了,情况才发生变化。1919年诺特才当上了讲师,1922年至1933年,她取得“编外副教授”职位,这是没工资的头衔,只因她担当了代数课的讲授,才从学生所缴学费中支付给她一小笔薪金。在这种艰难的情况下,诺特在希尔伯特、克莱因的相对论研究的思想影响下,于1918年发表了两篇重要论文,一篇是把黎曼几何和广义相对论中常用的微分不变式问题化为代数不变式问题,一篇是把物理学中守恒律同不变性联系起来,被称为“诺特定理”。

1920年以后,诺特开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路。她从不同领域的相似现象出发,把不同的对象加以抽象化、公理化,然后用统一的方法加以处理,得出一般性的理论,用她的这种理论又能处理各个不同领域的特殊性的问题。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,完成于1926年。一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。。

诺特的学术论文只有40多篇,她对抽象代数学发展所产生的巨大影响,并不完全出自她的论文,更重要的还是出自她与同事、学生的接触、交往、合作与讲课。她的讲课技巧并不高明,既匆忙又不连贯。但是,她常详细叙述自己尚末最终定型的新想法,其中充满了深刻的哲理,也充满了不同凡响的创造激情。她很喜爱自己的学生,在她身边形成了一个熙熙攘攘的“家庭”,这些学生被称为“诺特的孩子们”。其中有十几位学生后来成为著名数学家。

1928年在意大利波隆那举行的国际数学家大会上,诺特应邀作了一个3O分钟的分组报告。1932年在苏黎世举行的国际数学家大会上,诺特作了一小时的全会报告。她的报告得到许多数学家的赞扬,赢得了极高的国际声誉。一些年迈的数学家亲眼得见他们用旧式计算方法不能解决的问题,被诺特用抽象代数方法漂亮而简捷地解决了,不得不心悦诚服。同年,由于她在代数学方面的卓越成就,诺特和阿廷共同获得了“阿克曼·特布纳奖”。

可是,苏黎世大会之后仅几个星期厄运降临了。1933年1月,希特勒上台后疯狂地迫害犹太人,当年4月26日,地方报纸刊登了一项通告,哥廷根大学6位犹太人教授被勒令离开大学,其中之一就是诺特。霎时间,诺特在哥廷根大学的报酬极低的职务被剥夺了,她几乎走投无路了。起初,她曾想去前苏联。因为在1928年至1929年的冬天,她访问过莫斯科大学,在那里讲授抽象代数,并指导一个代数几何讨论班,对前苏联数学和数学家都产生了良好的影响,与前苏联著名数学家亚历山得罗夫等也给下了友谊。亚历山得罗夫当即表示欢迎诺特来莫斯科大学任教,由于种种原因,未能成功。后来,经著名数学家韦尔介绍和帮助,1933年9月,诺特才得以移居美国,在美国布林马尔女子学院任教,并在普林斯顿高等研究院兼职。

在美国期间,诺特每周去普林斯顿讲课,当时听她讲课的奎因教授回忆说,诺特身材不高,体态略胖,肤色黝黑,剪得短短的黑发还夹着几缕灰丝。她戴着一副厚厚的近视眼镜,用不甚连贯的英语讲课。她喜欢散步,常与学生外出远足,途中往往全神贯注地谈论数学,不顾来往的行人与车辆,以致学生们不得不保护她的安全。在诺特一生中,或许从来没有像在布林马尔学院和普林斯顿高等研究院,受到如此尊敬、同情和友情。但是,她依然怀念着祖国,怀念着哥廷根。1934年夏天,她曾回到哥廷根,看到哈塞仍然努力重建哥廷根光荣而悠久的数学传统,感到由衷的欣慰。

1935年春,当诺特返回美国后,经医生检查发现,她已被癌症缠身,肿瘤急剧地损伤着她的身体,只有手术才可能挽救她的生命。手术后病情一度好转,大家都期待她康复。不料得了手术并发症。4月14日这位终生未婚,把全部精力献给了她所热爱的数学事业的伟大女数学家,辞然与世长辞,终年53岁。

4月26日布林马尔学院为诺特举行了追悼会,爱因斯坦为她写了讣文,韦尔为她写了长篇悼词,深情地缅怀她的生活、工作和人格:

她曾经是充满生命活力的典范,以她那刚毅的心情和生活的勇气,坚定地屹立在我们这个星球上,所以大家对此毫无思想准备。她正处于她的数学创造能力的顶峰。她那深远的想像力,同她那长期经验积累起来的技能,已经达到完美的平衡。她热烈地开始了新问题的研究。而这一切现在突然宣告结束,她的工作猝然中断。

坠落到了黑暗的坟墓,

美丽的、仁慈的、善良的,

他们都轻轻地去了;

聪颖的、机智的、勇敢的,

他们都平静地去了;

我知道,但我决不认可,

而且我也不会顺从。

我们对她的科学工作与她的人格的记忆决不会很快消逝。她是一位伟大的数学家,而且我坚信,也是历史曾经产生过的最伟大的女性之一。

艾米·诺特:数学界的雅典娜

 艾米·诺特

■北绛

“如果没有这个女人,现代数学和它的教学将会是完全不同的。”

她被爱因斯坦视为有史以来“最伟大的女数学家”——“艾米·诺特是数学界的雅典娜,如果没有这个女人,现代数学和它的教学将会是完全不同的”。

遗憾的是,如果没有数学博士学位的话,普通人很难理解诺特工作的伟大之处。

她工作的主要领域是抽象代数。诺特完全重写了许多关于数学概念的书,以至于在数学领域不同的焦点里,你都可以找到这样一个形容词:Noetherian——“诺特的”。诺特还有一个名号叫作“现代数学之母”,她允许学者们无条件地使用她的工作成果,也因此被人们尊称为“当代数学文章的合著者”。

在物理领域,她提出了“诺特定理”。这是理论物理的中心结果之一,在此基础上孕育出了线性能量守恒和能量守恒等基本定律。直到今天,诺特的工作成果被用在了黑洞的研究上;在她去世后的几十年里,她的工作仍然是科幻小说的对象。

作为智慧与战争的女神,如果把雅典娜看作唯唯诺诺的弱女子,那可是大错特错。诺特作为一名犹太女科学家,在当时的社会环境中受到了种种歧视。她性格刚毅,默默工作,用自己亮眼的工作成果,给了所有歧视女性的人们狠狠一击——无愧于“数学家雅典娜”的美誉。

诺特1882年3月23日出生于德国巴伐利亚埃朗根,父亲马克斯·诺特是杰出数学家,埃朗根大学的教授。著名的“不等式之王”高丹是诺特父亲的密友,常来她家做客。在两位数学家的影响下,诺特对数学充满了热情。

1900 年冬天,诺特18岁。她顺利考取了父亲执教的埃朗根大学,但当时大学并不允许女生注册,女生最多只有自费旁听的资格。几百名学生中只有诺特和另外一个女孩,但她并不以此为惧。性格刚毅的她将背后的窃窃私语或者当面的羞辱谩骂置于脑后,大大方方地坐在教室前排,认真听课、刻苦学习。

勤奋聪颖的诺特博得了教课教授的好感,破例允许她参加考试。1903 年 7 月,诺特顺利通过了毕业考试,但却没有办法拿到文凭。

尽管如此,她却依然希望在数学上有所精进,而不是像世俗所规定的一样嫁人生子。她去往著名的哥廷根大学,旁听了希尔伯特、克莱因、闵可夫斯基等数学大师的讲课,大开眼界的同时,也坚定了自己终生从事数学研究的理想。

不久以后,埃朗根大学允许女生注册的消息传到了哥廷根。诺特闻讯后立即赶回母校专攻数学。1907年12月,她以优异的成绩通过了博士考试,成为该校历史上第一位女数学博士。之后,在高丹、费叶尔的指引下,诺特开始在数学的不变式领域进行深入的研究。

诺特的工作受到希尔伯特的欣赏。1916 年,这位数学大师亲自邀请诺特来到哥廷根大学执教。希尔伯特希望为诺特争取一个正式教职,遭到拒绝后这一申请职位降低为“私人讲师”。但这在一些教授看来仍然不可接受:“男学生向女教师请教,是一种耻辱。”

“我看不出候选人的性别对她申请私人讲师有什么影响。说到底大学又不是澡堂!”作为数学大师的希尔伯特发现,尽管自己在专业领域是不可动摇的权威,但在性别偏见面前,却无能为力。

但诺特早已对此习以为常,性格刚毅的她不置可否,继续用希尔伯特的名义教课,同时坚持自己的研究。不到两年的时间里,她就发表了两篇重要论文。在一篇论文里,诺特为爱因斯坦的广义相对论给出了一种纯数学的严格方法;而另一篇论文有关“诺特定理”的观点,已成为现代物理学中的基本问题。智慧诺特用自己出色的成绩狠狠还击,1919年她升任讲师,没有人提出反对意见。

作为犹太人,1933年诺特被迫逃离纳粹德国,加入美国布林莫尔学院。诺特终身未嫁。1935 年4月14日,她不幸死于一次外科手术,年仅53岁。4月26日学院为诺特举行了追悼会,爱因斯坦为她写了讣文,韦尔为她写了长篇悼词——“她曾以刚毅的性情和生活的勇气,坚定地屹立在我们这个星球上”。(来源:中国科学报)

诺特

翁林

(复旦大学)

诺特, E(Noether Emmy)1882323日生于德国的埃朗根;1935414日卒于美国的布林莫尔.数学.

埃米·诺特于1882323日出生于埃朗根的一个数学家家庭.1838年,她的祖父赫尔曼(Hermann)和一个对数学研究有浓厚兴趣的犹太商人的女儿结婚.1844年,他们的三子——埃米·诺特的父亲马克斯·诺特(Max Noether)出世.他一改诺特家族从商的传统,后来成为深深影响意大利代数几何学派的数学家.

1880年马克斯·诺特和一位富裕的犹太商人的女儿伊达·考夫曼(Ida Kaufmann)结婚.在他们的3个孩子中,长女埃米与次子弗里茨(Fritz)后来均成为闻名于世的数学家.

埃米出生时并没有显示出特别的数学天赋.与其他中产阶级的女孩一样,她被送进学堂.在埃朗根市立高级女子学校就读的3年中,也许她的语言才能占有优势.19004月,18岁的埃米毫不费力地通过了资格考试,领取了做一个语言教师的合格证书,这使她很高兴.另一方面,由于埃米生长于一个平等、宽松、愉快的家庭中,长期受到往来于她家的埃朗根大学数学教授的影响(由于马克斯·诺特身体不好,大学的同事们经常到他家中与他一同讨论数学问题),埃米·诺特最终还是选择了研究数学作为终身事业.

1900年秋天,埃米·诺特决定进入大学学习.不幸的是,德国是欧洲最迟允许女子成为高等学校学员的国家.德国的高等学府只允许女子在征得主讲人同意的情况下参加旁听,当然他们得交听课费.至于参加考试并取得文凭还需要主管人的特殊批准.1902年起,埃米·诺特在埃朗根大学旁听.19037月,她被校方特殊批准参加并通过入学注册考试.按当时的时尚,大学生需在另一所大学学习一年.1903年冬,她前往对女子入学更为开明的格丁根大学就读,这时她有幸直接听到了F.克莱因(Klein)D.希尔伯特(Hilbert)H.闵可夫斯基(Minkovski)等人的讲课.1904年,埃米·诺特又回到了埃朗根大学,成为数学系47名学生中唯一的女性.

我们知道,当时埃朗根的数学环境是被代数几何和不变量的研究所笼罩的.JW.戴德金(Dedakind)L克罗内克(Krone-cker)及马克斯·诺特都致力于代数函数的研究,这些人试图将代数函数的理论代数化,也就是说将代数函数的理论从复杂的解析法和直觉的几何法中解放出来.这时的马克斯·诺特获得了真正的成功,他给出了代数几何意义下代数曲线的完全结构.除此之外,戴德金采用纯代数观点,克罗内克用算术化方法亦同样处理了这一问题.

然而这一时期的P.哥尔丹(Gordan)却还专心于不变量的研究.这位商人的儿子在注意到自己有非凡的计算和形式化才能后毅然地放弃了阿贝尔积分的研究,转而研究当时数学的中心之一:不变量.哥尔丹的研究方法和工作作风对早期的埃米·诺特的研究产生了深刻的影响.

不变量诞生于1827年的德国,伟大的数学家CF高斯(Gauss)在论文中首先讨论了微分几何中的微分不变量,他的作品一经问世,就立刻引起了人们的广泛兴趣,经过大约20年的摸索,GFB.黎曼(Riemann)及英国学者们终于将它变成了数学研究的时髦课题.人们所做的工作是找出基本不变量并将一般理论应用到一至四次代数方程中去.接着RFA.克莱布什(Clebsch)SH.阿龙霍尔德(Aronhold)及哥尔丹首创了不变量研究中的“符号”法,从而使这一学科的研究进入了“形式主义”时期.尽管“形式主义”工作者们有着运用符号及熟练计算的非凡才能(在哥尔丹的论文中我们可以看到数十页无文字说明的计算公式,为此他赢得了“不变量之王”的美誉),但他们的工作领域并未真正扩大.1888年希尔伯特证明了哥尔丹定理,也就是人们通常所说的希尔伯特基定理的原始形式:给定了无穷多个包含着有限个变量的一组代数形式系,则总存在一组个数有限的代数形式系,使得所有形式可以表为这有限个形式的线性组合,而系数为原来那些变量的有理整函数.这一工作为代数不变量的研究开辟了新的广阔的疆域.从那一时期起,使致力于代数不变量研究的数学工作者都热衷于哥尔丹定理的推广和应用.

埃米·诺特的数学研究工作是在哥尔丹指导下开始的,毫无疑问,她的研究课题也是不变量.这一阶段一直持续到1916年,研究的领域有两个方向:第一,希尔伯特基定理的扩展及希尔伯特第14问题;第二,微分不变量.作为一个极有天赋而又富有耐性的女数学家,埃米·诺特初步显示了其卓越的数学才华.19071213日,她以“三元双二次型不变量的完全系”(ber die Bilda-ng des Formensystems der tenaren biquadratischen Form)的论文通过了博士论文答辩.翌年,埃朗根大学授予她哲学博士学位.在那篇论文里,埃米·诺特借助导师哥尔丹及其学派创造的、用计算逼近来研究不变量的方法讨论了三元双二次型不变量的完全系的结构.在名为“n元形式的不变量”(Zur Invariantentheorie derFormen von n Variablen1911)的论文中,埃米·诺特将哥尔丹关于二元的工作——哥尔丹定理的原始形式——推广到n元.接下来,埃米·诺特开始研究有理函数体.这方面的第一篇作品是“有理函数体”(Rational Fuuektionerkper1914),代表作是“有理函数体和系”(Kper und Systeme rationaler Funcktionen1915).这篇文章可视为埃米·诺特由哥尔丹的形式主义工作阵营向希尔伯特阵营靠拢的开始.在这篇文章中,她不但证明了有理函数体中必存在有限有理基,而且还将这一结果运用到希尔伯特第14问题中去.这一结果的进一步应用是“有限不变量的有限性定理”(Der Endlichkeilssatz den Invarianten endlicher Gru- ppen1915)及“任意多基本形式系统的不变量的整有理表示”(ber geure rational Derstelluag der trwariter eines Systensvon beliebig vielen Gruuolbonnen

1915).在第一篇文章中,埃米·诺特运用对称函数的理论给出了有限群不变量的有限性的初等构造性证明.在第二篇文章中,她不但解决了希尔伯特于1914年提出的猜想,而且还利用E.费希尔(Fisher)(哥尔丹在埃朗根的继承人)的一些结果给出了不变量中一个基本定理的证明.在“由超越数组成的最一般区域”(Die allgeneinsten Bereiche ausgenzen transzendenzen zahlenss1915)中,她讨论了整基问题.

从上述作品中,我们不难看出这时的埃米·诺特还深深受到埃朗根学派的计算化和算术化的影响.不过埃米·诺特由于受费希尔的影响早已经逐渐地改变了哥尔丹的形式主义工作作风,代之以概念及公理思维.如果说在她的博士论文中,埃米·诺特曾用了320多个形式符号给出了三元双二次型的完全系;那么在后来关于叉积理论的研究中,她却用公理化方法使早为人们熟知的繁杂结果变得特别简单明瞭.

大约在1915年,A.爱因斯坦(Einstein)的广义相对论引起了数学界的强烈反响,大批杰出的数学教授投身于它的研究,其中有格丁根的克莱因及希尔伯特.由于克莱因发现他早期的埃朗根纲领中的想法可以用来整理相对论的基本规律,他就立即着手进行这方面的工作(参见克莱因自己主编的《19世纪数学史讲义》(Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Ja- hrhundert,Ⅰ,1926,Ⅱ,1927)).而对于自1912年起就一直沉醉于物理学研究的希尔伯特来说,此时的目标是研究物理学的基础问题及其数学表述.1916年的克莱因与希尔伯特几乎同时注意到埃米·诺特关于不变量的研究,当意识到不变量知识对他们特别有用时,立即向她发出了邀请信.几乎没有什么犹豫,埃米·诺特便接受了邀请,从此她的数学研究进入了一个崭新的境界.

在格丁根大学早期工作期间,埃米·诺特因她特有的数学思维方式及丰富的不变量知识同克莱因及希尔伯特进行了相当成功的合作.埃米·诺特首先作出被当代物理学界称为诺特定理的一系列深刻结果.然后将广义相对论中两个最富有意义的部分作了普遍而真正的数学表述.也就是说,埃米·诺特不但用“正规坐标”将微分不变量问题转化为纯代数不变式问题,而且还讨论了关于连续李群的不变量.作为后者的特例,她给出变分问题中欧拉方程中的恒等式.所有这些对近代物理的发展起了积极的推动作用.从这一时期起,埃米·诺特逐渐为数学界及数学物理界所瞩目.

不过,由于埃朗根学派的影响还深深印在埃米·诺特的心上,她没能继续深入研究数学物理.当她转而研究抽象代数中的“理想论”,着手进行其一系列的“算术质”(arithmetical matter)研究时,埃米·诺特走进了她的成熟期,以至成为至今为止最伟大的女数学家.

众所周知,代数学的历史可分为两个阶段.19世纪之前,所谓代数,仅仅是求代数方程的根式解而已.但是挪威数学家NH.阿贝尔(Abel)1824年证明了五次方程的根式解不存在.几乎同时(1828),法国数学家E伽罗瓦(Galois)作出了独创性工作:这其中包括置换群论、代数方程的解存在的条件及怎样用分析及数值逼近法求解代数方程.这些工作导致了新代数的诞生.

上述新代数研究到埃米·诺特的时代已经积累了丰硕的成果,为更加新的代数学提供了背景材料.首先是代数数论.为了研究费马定理:xn+yn=zn没有非平凡的整数解,对复数系进行了深入的研究,创造了理想、环、模、素除子、链条件等概念.其次,在代数不变量方面和二次型紧密相关.例如实数域上的二次型由其符号差和秩唯一决定等.第三,代数几何.马克斯·诺特,戴德金,克罗内克等人均尝试着用代数来代替原来在这个领域中一直占统治地位的分析技巧,使这一领域加速算术化.第四,群论.人们的研究已不仅局限于置换群、李群,而转向近代抽象群论中的概念,如同态、同构、表示等.第五,双非代数.这一学科起始于1843年英国学者WR哈密顿(Hamilton)发现四元数体.后来人们就开始了双非代数——非交换、非结合代数的研究.

由上我们可以看出,在埃米·诺特成熟时期,整个代数学的研究已到了一个关键的时刻:需要将这庞大的阵营建立在一个明瞭、清晰的基础上,作出更深层次的概括.埃米·诺特正适应于做这项伟大的事业——她既有埃朗根学派的算术化、形式化功底,又有来源于格丁根学派的公理化能力.本世纪20年代,这位天才的数学大师就为“近世代数”的问世而催生,一个有力的诺特学派随之形成.

开始,埃米·诺特依循戴德金的道路在1916年到1920年期间写了几篇文章.在1916年作的“同构映射的函数方程”(DieFunktionalgleichungen der isomorphen Abbildung)中,她不仅强调抽象域之间的同构映射的作用,而且还第一次特别强调引用策梅罗集论公理.埃米·诺特在1918年发表的“具有指定群的方程”(Gleichungen mit Vorgeschviebener Gruppe)中处理了具有一定伽罗瓦群的多项式,这是人们首次努力解决给定域的伽罗瓦群同构于指定群的伽罗瓦扩域问题.在1919年发表的“单变量代数函数的算术理论与其他理论的关系以及与数域论的关系”(Die ari-thmetrihe Theorie der algebraischen Funktionen einer Veraen-derlichen in ihrer Beziehimg zu den übrigen Theorien und zuder Zahlkrpertheorie)中,埃米·诺特充分体现了其戴德金的风格.在讨论了由黎曼、魏尔斯特拉斯,亨泽尔-兰茨贝格,布里尔-诺特及戴德金-韦伯算术化的基础后,她指出所谓“算术化”是一种“方法的全纯”(Full Purity of Method).这为她后期的代数道路指明了正确的方向.1920年,埃米·诺特受到线性微分表示的启发,发展了不可换多项式模式.这为引入“左”“右”模继而为埃米·诺特的一般理想论作了伏笔.

在环的一般理想论方面,埃米·诺特有两篇代表作.第一篇是1921年发表的“环的理想论”(Idedthevid Ringbereichesi).在这篇文章中,诺特将一般代数数域中的理想分解扩展到一般环上去,我们知道整数分解为素数之积有四个性质:无公共因子;相对互素;因子为准素的;因子不可约.在对一般交换环加上链条件后,诺特证明了这时环的理想也潜藏着上述性质的分解,也就是说,任何理想均可表为准素理想的交.同时,诺特还分别评述了同时代关于理想分解的优劣,这其中包括著名的拉斯克、麦考利及弗伦克尔分解理论.在此文中,她不仅指出她的环的有限性条件:每一理想均由有限个元生成,等价于戴德金的理想升链条件:环中每一理想升链必终止于有限步,而且还指出这些结果推广到非交换环上的可能性.不难看出,这一结果在多项式环上的应用将给代数几何的局部问题的研究打下坚实的基础.诺特在广义理想论方面的另一篇论文是1927年发表的“代数数函数域上理想论的抽象结构”(Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in AlgebraischenZahlund-Funktionenkrper).在此文中,她给出了环中理想可表为素理想的积的本质刻画.与此同时,诺特还特别注意此文的风格,采用为公众所接受的统一的术语、符号,将戴德金的工作及其相关的概念毫无含糊地表示出来,这为理想论的规范化作出了杰出的贡献.

这一时期的埃米·诺特不但致力于一般理想论的研究,而且,她还注意同代人的工作,写出了消去理论、多项式的零点定理等方面的一批论文.这些论文不但处理了相应讨论的问题,而且还将她自己及同时代人的工作进行了总结,进而使环论、模论的研究纳入了一个统一的系统.

接下来诺特的成果大多是在结合代数及其表示领域中取得的(1927—1929).从上面的工作我们可知,前面诺特的工作似乎还停留在数所满足的性质的基础上,而实际上,这种限制是人为的.在通常生活中有许多对象(比如刚体)运动的描述就不满足数的运算律(比如交换律).诺特在注意到这点后,立即试图用线性变换来实现所研究的对象,这种理论就是表示论.在这方面诺特的最伟大的成就是通过表示研究非交换代数的结构,然后再借助叉积将这些结果运用到通常的交换代数及算术中去.这一工作将结合代数及其表示理论从松散状态变成一门严谨的科学.这一阶段的工作起始于超复数学的研究,也终止于它.诺特在这方面最著名的论文是“超复数及其表示”(Hyperkomplexe Grssen und Da-rstellungstheorie)

由于上述工作,使诺特的科学声誉达到了顶峰.1928年,在意大利的博洛尼亚的国际数学家大会的分组会上,诺特作了30分钟的报告.时过4年的苏黎世国际数学家大会上诺特以其精练的语言、充实的内容、全新的观点作了一小时的大会报告.在报告中她简单地给出了许多旧派数学家们多年来用老的方法未能解决的问题,因而得到了数学界的普遍赞扬.同年诺特和E.阿廷(Artin)一同荣获了为数学知识进步有杰出贡献的人所设立的阿尔福雷德·阿克曼-陶贝尔(Alfred Aekermann-Teubner)纪念奖.

接下来诺特的工作集中于代数数论,尽管早在1916年诺特就已开始了这方面的工作,但具有真正意义的部分是1932年后才开始的,那时的诺特将她多年来醉心统一的抽象理论应用到数论上来并取得了丰硕成果.1932年,诺特与学生布劳尔、H.哈塞合作一举解决了长期围绕数学大师的猜想——代数主定理:代数数域上的单代数都是迪克森(LEDickson)意义下的循环代数.这一结果含于论文“代数理论主定理的证明”(Beweis eines Hauptsa- tzes in der Theorie der Algebra1932)中.H.韦尔(Weyl)称它为代数发展史上的一个重大转折点.直到诺特去世,她一直研究这一课题,作为其重要结果,她得出了希尔伯特、高木贞治(高木贞治,Takagi Teiji)及阿廷发展的类域论及复数系论的一系列重要结果.

如果认为诺特的学术顺利必然带来生活上的一帆风顺,那将是十分错误的.实际上,诺特在她的祖国(除了童年时代)就一直处于生活的逆境中.虽然格丁根大学是德国第一所准许授予妇女博士学位的大学,但诺特刚到时,为争取获得“授课资格”的一切努力均以失败告终.因为在当时的德国高等学府里,获得授课资格必须在通过学术论文时由哲学院的全体教授投票,这些教授中不仅有数学教授,还有毫不妥协地反对妇女地位得到真正改变的哲学、人类学、历史学等学科的教授们.一个熟知的趣闻是在回答反对派“一个女人怎么能成为讲师呢?如果让她当了讲师,那她以后就会成为教授,成为大学评议会的成员,难道能允许一个女人进入评议会吗?……”;“当我们的士兵从战场上回到大学时,发现他们将在一个女人的脚下学习,他们会怎么想呢?”的时候,希尔伯特用直截了当的方式说道:“先生们,我不认为候选人的性别是不能让她当讲师的理由,大学评议会毕竟不是澡堂.”尽管数学教授们竭力保荐,此项议案最终还是否决了.这样,希尔伯特只好自己设法使诺特能在格丁根呆下去.通常的做法是挂希尔伯特的名由诺特上课.实际上,在1916—1917年的格丁根大学校园里,人们常可以看到这样的海报:“数学物理讲座,主讲人:D.希尔伯特教授及助手埃米·诺特博士,星期一400—600,免费.”

随着1918年德国君主统治的垮台和第一次世界大战的结束,德国人民的生活有了初步改善.19196月,诺特终于如愿以偿获得了“非官方讲师”的头衔,但这并没有改变她的经济状况.已到而立之年的诺特在数学界已经站稳了脚跟,但她的生活还十分拮据,不能仅仅依靠她在数学方面的工作来养活自己.诺特始终没能象其他人那样成为政府文职部的成员(即使是在她1922年成为“非官方教授”时也是如此).但她却以代数学中的杰出工作赢得了广泛的国际声誉.众所周知,战后格丁根的数学界中出现了以诺特为中心的研究小组,这一小组的成员来自世界各地.诺特的聪明才智,友善态度及充分的合作精神深深地吸引着他们,并帮助他们进行科学研究.来自阿姆斯特丹的荷兰神童范·德·瓦尔登(van der Waerden)在诺特处学习了“概念的机制”和“思维的本质”.他很快地掌握了诺特的思想,在著作《代数学》(Algebra1930)中他成功地总结了整个诺特学派和同时代其他代数学家的成果.这本书以新颖的观点,特殊的处理方式,丰富的材料和高超的技巧风靡世界,“直到现在为止还被人们视为近世代数方面进行学习和开展科学研究的一部好书”(见研究文献[13]).而对于曾受到过同时代的伟大数学家I.舒尔(Schur)指导的R.布劳尔,诺特所提供的则是更多的抽象思维训练的机会,这使得这位舒尔学派的继承者在他借助矩阵和群表示作具体计算时能够看清他的工作道路.诺特的两位非常亲密的学生阿廷和H.哈塞一直辅助着她.这时诺特还以她特有的思维方式积极影响苏联П.C亚历山德罗夫(Aлександров)及其学派的拓扑学研究.作为诺特的学生,我们还可以看到G.赫尔曼(Hermann)W.克鲁尔(Krull)M.波因姆格(Peunmg)E.维特(Witt),曾烱之,(①曾烱之为埃米·诺特唯一的中国学生,1933年他在埃米·诺特的指导下获得博士学位,著名的曾烱之定理就在那篇博士论文中.

1936年,他受埃米·诺特的影响取得了一些成就,不幸的是,1943年他过早地逝世于抗战中的西康.)J.洛伊茨基(Le-uitzki)K.谢克拉(Shecla)等当代著名的代数学家.

由于对祖国极端歧视妇女的不满,诺特对当时苏联的社会主义制度特别赞赏.1923年,亚历山德罗夫及П. C.乌雷松(уры-сон)访问格丁根,诺特和他们结下了深厚的友谊.1928—1929年,诺特作为客座教授访问了莫斯科.在莫斯科大学她讲授了抽象代数,同时在另一处她指导了一个代数几何讨论班.诺特几乎影响了整个苏联数学界.早期,经克鲁尔介绍,诺特与苏联的群论奠基人O.Ю.施密特(шмидт)相识并对他产生强烈的影响,他的继承者库罗斯Kuro.也曾受诺特的直接指点.当然,在莫斯科期间,她还指点了正沿着她的道路进行勤奋工作的青年数学工作者Л.C.邦特列雅金(понтрягин).不仅如此,诺特还使亚历山德罗夫将同调群的概念引入了拓扑学.1935年在亚历山德罗夫及H霍普夫(Hopf)合著的《拓扑学》(Topologie 1 )的前言中,他们写道:“埃米·诺特对数学的一般观念的影响,并不局限于她的特殊活动领域——代数学,而是对同她有着数学交往的任何人都产生积极的影响.”诺特特别留恋在莫斯科的生活,在那儿她感受到了真正的自由平等空气.回国后,她也毫不掩饰这一点,以致有一次一批激烈的青年要将这位“倾向马克思主义的犹太女人”从她的公寓中撵出去.1933年,在诺特被迫停止参加一切科学活动,并被取消“讲座”薪金时,她曾给亚历山德罗夫去信表示愿意前往苏联,但由于苏联有关部门的官僚主义未能及时批准终未能如愿.(这对她可能是件好事.她的弟弟弗里茨1935年去西伯利亚的托木斯克数学力学所工作后不久,由于德苏亲善被关进了集中营至今下落不明.)

正当诺特的数学研究活动达到全盛的时候,传来了希特勒上台的消息.迫于无奈,19339月,诺特在H外尔(Weyl)的推荐下移居美国宾夕法尼亚州的布林莫尔(Bryn Mawn)女子学院任教,那儿距普林斯顿高级研究院很近.从1934年起,诺特每周去研究院讲一次课.这一时期,她最热衷于领着门徒散步.诺特在布林莫尔的时光是十分愉快的,在这里她体会到了仅在童年时代才有过的一切人际间的亲善情感.不幸的是1935414日,由于手术失误,诺特突然告别人世,过早地悄然离去,时年52岁.

埃米·诺特的意外去世,在数学界引起广泛哀悼.诺特不仅是才华横溢、学识渊博的学者,而且是胸襟坦荡、平易近人的人.她没有迷人的外表,有一副粗嗓门,也许表面上看她更像“一个强健壮实但又高度近视的洗衣妇”,但她从不装腔作势,自私自利.她心地善良,天性友善,似乎从来没有过仇恨.尽管德国给了她极不公正的待遇,她在那儿倍受迫害,但她始终没有耿耿于怀.1934年夏天,她从美国去格丁根时,仍旧满怀激情地工作.诺特一生从未结过婚,但这并不意味着她是一个性情孤僻的人:她一直拥有一个“熙熙攘攘,吵吵闹闹”的家庭——她和学生组成的集体.

诺特的论文仅有四十多篇,但她对数学界的影响却是不可磨灭的,她不仅以独特的科学思维方式,富有成效的研究程式,丰硕的工作成果引起数学界的瞩目,还以宽广的胸怀,伟大的合作精神及富有活性的感召力对同时代的数学工作者产生了深远的影响.她的学生有欧美大陆的莘莘学子,也有亚洲及太平洋地区的好学之士.她的影响不只限于个别的数学家,而是涉及许多学派,如苏联学派、日本学派和曾左右世界的布巴基(Bourbaki)学派.作为一位杰出的女性,她一直被妇女们所敬仰,而且由于她的出现,使人们对妇女的数学能力有了重新的估价,人们越来越重视妇女在数学方面的工作.据统计,女数学博士的数目在逐渐增加.(1930—1970年美国数学博士中的女性占7%,1969—1972年占7.3%,1972—1975年占9.1%,其中1974—1975年占10%.)

自诺特逝世至今,世界范围内的悼念活动从未间断,人们以各种方式表示对这位科学家的怀念.大批著名的科学家纷纷撰文,这其中包括并不十分了解她的当代最伟大的科学巨匠A.爱因斯坦(Einstein)1960年,埃朗根市政当局以埃米·诺特命名了一条街道.为纪念她的100周年诞辰,1982227日埃朗根大学在数学研究所建立了埃米·诺特纪念碑.同年布林莫尔学院举行了隆重的纪念大会.会上著名数学家N.雅各布森(Jacobson)RG.斯旺(Swan)JD.萨利(Sally)O.陶斯基(Taussky)M.维尔金(Vergen)D.茫福德(Mumford)W.法伊特(Feit)A.波莱尔(Borel)K.乌伦贝克(Uhlenbeik)论述了埃米·诺特在数学界的深远影响.19833月,埃朗根市政府又把一所供儿童学习数学、自然科学和语言学的学校命名为埃米·诺特学校.

我们引用爱因斯坦在《纽约时报》上发表的悼念埃米·诺特的一段话作为本文的结尾:“……她以前在格丁根大学,近两年在布林莫尔学院工作.根据现在的权威数学家们的判断,诺特小姐是自妇女开始受到高等教育以来有过的最杰出的富有创造性的数学天才.在最有天赋的数学家辛勤研究了几个世纪的代数学领域中,她发现了一套方法,当前一代年轻数学家的成长已经证明了这套方法的巨大意义.通过这种方法,纯粹数学成为逻辑思想的诗篇,人们寻找最一般的运算概念,它将涉及形式关系的尽可能广泛的领域以一种简单的、逻辑的和统一的形式.在努力达到这种逻辑美的过程中,你会发现精神的法则对于更深入地了解自然规律是必须的…….”