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等差数列

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等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母`d`表示.

等差数列的图象:在直角坐标系中,等差数列的图象是线性等距离的离散点集.
当 `d>0` 时,等差数列图象为:

等差数列图象,成长吧啊

当 `d<0` 时,等差数列图象为:

等差数列的图象,成长吧啊

当 `d=0` 时,等差数列图象为:

数列的图象,成长吧啊

等差中项:如果`a,A,b`成等差数列,那么`A`叫做`a`与`b`的等差中项. 容易看出,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 其中满足: `2A=a+b`.

等差数列的通项公式:`a_n=a_1+(n-1)d` ( `d`为公差).

等差数列的前n项和公式: `S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d `,当`d≠0`时,`a_n` 是 `n` 的一次函数,`S_n` 是 `n` 的二次函数(无常数项)

等差数列的判定方法

(1)定义法:`a_{n+1}-a_n=d`(常数)`\iff \{a_n\}` 是等差数列.

(2)中项公式法: `2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}(n \in N^*) \iff \{a_n\}`是等差数列.

(3)通项公式发: `a_n=pn+q` (`p,q`为常数) `\iff \{a_n\}` 是等差数列.

(4)前 `n` 项和公式: `S_n=An^2+Bn` (`A,B` 为常数) `\iff \{a_n\}` 是等差数列.

定义法是判断数列是否是等差数列的主要方法

等差数列的性质: 

(1) 若`m+n=p+q`, 则 `a_m+a_n=a_p+a_q`;

(2) 若已知等差数列`\{a_n\}`,公差为`d`,前 `n`项和为 `S_n`,则

   ① `S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}……`仍为等差数列, 公差为 `n^2d`;

   ② `\{\frac{S_n}{n} \}` (即 `\frac{S_1}{1}, \frac{S_2}{2}, \frac{S_3}{3}, \cdots`) 为等差数列,公差为`\frac{d}{2}`.

(3) 若三个数成等差数列,可设为 `a-d,a,a+d`;

(4) 若 `a_n,~b_n` 是等差数列,且前 `n` 项和分别为 `S_n,T_n`,则`\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2m-1}}{T_{2m-1}}`;

(5) `\{a_n\}`为等差数列`\iff S_n=an^2+bn` (`a,b`为常数,是关于 `n` 的常数项为0的二次函数)的最值可求二次函数), 其中 `S_n` 的最值可以求二次函数 `S_n=an^2+bn` 的最值;或者求出 `\{a_n\}` 中的正、负分界项,

即:当 `a_1>0,~d<0`,解不等式组 `\begin{cases} a_n \geqslant 0  \\ a_{n+1} \leqslant 0\end{cases} ` 可得 `S_n` 达到最大值时的 `n` 值.

当 `a_1<0,~d>0`,由 `\begin{cases} a_n \leqslant 0  \\ a_{n+1} \geqslant 0\end{cases}` 可得 `S_n` 达到最小值时的 `n` 值. 

(6) 项数为偶数 `2n` 的等差数列 `\{a_n\}`,有 `S_{2n}=n(a_1+a_{2n})=n(a_2+a_{2n-1})=\cdots=n(a_n+a_{n+1})`(`a_n,a_{n+1}`为中间两项)

`S_偶-S_奇=nd`,     `\frac{S_奇}{S_偶}=\frac{a_n}{a_{n+1}}`.

(7) 项数为奇数 `2n-1` 的等差数列 `\{a_n\}`, 有 `S_{2n-1}=(2n-1)a_n`(`a_n`为中间项),

`S_奇-S_偶=a_n`,     `\frac{S_奇}{S_偶}=\frac{n}{n-1}`.