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等比数列

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等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比,公比通常用字母 `q` 表示 ` (q≠0)`.

等比中项:与等差中项的概念类似,如果在 `a` 与 `b` 中间插入一个数 `G`,使 `a,G,b` 成等比数列,那么 `G` 叫做 `a` 与 `b` 的等比中项.

如果 `G` 是 `a` 与 `b` 的等比中项,那么 ` \frac{G}{a}=\frac{b}{G} `,即 `G^2=ab`, 因此, `G=±\sqrt{ab}`

反过来,如果 `a,b` 同号,`G` 等于 `\sqrt{ab}` 或 `-\sqrt{ab}`,即 `G^2=ab`,那么 `G` 是 `a、b` 的等比中项.

  • 等比数列的前n项和公式:

`S_n=\begin{cases} na_1~~(q=1) \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}~~(q\neq 1) \end{cases}`.

注:对公比为字母 `q` 的等比数列求和时,要对 `q` 进行讨论能否等于1.

`a_n=\begin{cases} a_1=S_1~~(n=1) \\ S_n-S_{n-1}~~(n>1) \end{cases}`

  • 等比数列的性质

(1) 若`m+n=p+q`, 则 `a_m·a_n=a_p·a_q`;

(2) 数列  `S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}……`仍为等比数列, 公比为 `q^n`.