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任意角的三角函数

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设`\alpha`是一个任意大小的角. 角`\alpha`的终边上任意一点`P`的坐标是`(x,~y)`, 它与原点的距离是`r~(r=\sqrt{x^2+y^2} > 0)`, 那么关于角`\alpha`,

正弦: 比值 `\dfrac{y}{r}` 叫角 `\alpha` 的正弦, 记做 `\sin \alpha`, 即 `\sin~ \alpha=\dfrac{y}{r}`,

余弦: 比值 `\dfrac{x}{r}` 叫角 `\alpha` 的余弦, 记做 `\cos \alpha`, 即 `\cos~\alpha=\dfrac{x}{r}`,

正切: 比值 `\dfrac{y}{x}` 叫角 `\alpha` 的正切, 记做 `\tan \alpha`, 即 `\tan~\alpha=\dfrac{y}{x}`, 

余切: 比值 `\dfrac{x}{y}` 叫角 `\alpha` 的余切, 记做 `\cot \alpha`, 即 `\cot~\alpha=\dfrac{x}{y}`,

正割: 比值 `\dfrac{r}{x}` 叫角 `\alpha` 的正割, 记做 `\sec \alpha`, 即 `\sec~\alpha=\dfrac{r}{x}`,

余割: 比值 `\dfrac{r}{y}` 叫角 `\alpha` 的余割, 记做 `\csc \alpha`, 即 `\csc~\alpha=\dfrac{r}{y}`.

由图中显示: `\sin~ \alpha=MP`, `\cos~ \alpha=OM`, `\tan~ \alpha=AT`.

确定三角函数的定义域应抓住分母为 `0` 时比值无意义这一关键.

三角函数 意义 定义域 值域
六种三角函数的定义域和值域
`\sin \alpha` `\sin~ \alpha=\dfrac{y}{r}` `R` `[-1,1]`
`\cos \alpha` `\cos~\alpha=\dfrac{x}{r}` `R` `[-1,1]`
`\tan \alpha` `\tan~\alpha=\dfrac{y}{x}` `\{\alpha|\alpha \neq k \pi +\frac{\pi}{2},~k\in Z\}` `R`
`\cot \alpha` `\cot~\alpha=\dfrac{x}{y}` `\{\alpha|\alpha \neq k \pi,~k \in Z \}` `R`
`\sec \alpha` `\sec~\alpha=\dfrac{r}{x}` `\{\alpha|\alpha \neq k \pi +\frac{\pi}{2},~k\in Z\}` `(-\infty,-1]\cup [1,\infty)`
`\csc \alpha` `\csc~\alpha=\dfrac{r}{y}` `\{\alpha|\alpha \neq k \pi,~k \in Z \}` `(-\infty,-1]\cup [1,\infty)`
  • 三角函数值在各象限的符号

正弦、正割的符号是由点的纵坐标 `y` 的符号决定的;

三角函数的符号,成长吧啊

余弦、正割的符号是由点的横坐标 `x` 的符号决定的;

三角函数的符号

正切、余切的符号是由点的纵坐标 `y` 和横坐标 `x` 的符号共同决定的.