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函数的单调性

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函数单调性函数的单调性就是随着 `x` 的变大,`y` 在变大就是增函数,随着 `x` 的变小, `y` 变小就是减函数. 用数学符号严格描述就是:

一般地,设函数 `f(x)` 的定义域为 `I`:

增函数: 如果对于定义域 `I` 内某个区间 `D` 上的任意两个自变量的值 `x_1,x_2`,当 `x_1<x_2` 时. 都有 `f(x_1)<f(x_2)`, 那么就说函数 `f(x)` 在区间 `D` 上是增函数(increasing function).

减函数: 如果对于定义域 `I` 内某个区间 `D` 上的任意两个自变量的值 `x_1,x_2`,当 `x_1<x_2` 时. 都有 `f(x_1)>f(x_2)`, 那么就说函数 `f(x)` 在区间 `D` 上是减函数(increasing function).

(1)函数的单调性是对于函数定义域的某个区间而言的,在一个函数定义域内不同的区间上可能有不同的单调性,因此 在谈某个函数的单调性时必须同时说明相应的区间.函数的单调区间可能是开区间,可能是闭区间,也可能是半开半闭区间.

(2)证明函数单调性的方法:

依据函数单调性的定义,步骤如下:

a.取值:即设 `x_1、x_2` 是该区间内的任意两个值,且 `x_1<x_2`;

b.作差变形:即作差 `f(x_1)-f(x_2)`,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.

c.判定符号:确定差 `f(x_1)-f(x_2)` 的符号,当符号不确定时,可以进行分区间讨论.

d.判断:根据定义作出结论.

  • 复合函数的单调性

(3)复合函数 `y=f(u)其中u=g(x)` 单调性的判断

如果函数 `u=g(x)` 在区间 `[m,n]` 上是单调函数,且函数 `y=f(u)` 在区间 `[g(m),g(n)]` (或 `[g(n),g(m)]`)上也是单调函数,那么

函数 单调性
`u=g(x)` 增函数↑ 增函数↑ 减函数↓ 减函数↓
`y=f(u)` 增函数↑ 减函数↓ 增函数↑ 减函数↓
`y=f(g(x))` 增函数↑ 减函数↓ 减函数↓ 增函数↑

(4)利用单调性比大小 :利用函数的单调性,可以把比较函数值大小的问题转化为比较自变量的大小的问题.

(5) 确定函数的值域或求函数的最值:如函数 `f(x)` 在 `[a,b]` 上单调递增,就可以判断它的值域为 `[f(a),f(b)]`,且 `f(a)` 为其最小值,`f(b)` 为其最大值.如在 `(a,b)` 内单调递增,其值域为 `(f(a),f(b))`,且不存在最值.