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高中数学

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21. 已知 $m, n$ 为正整数  (Ⅰ) 用数学归纳法证明: 当 $x > -1$ 时, $(1+x)^m \geq 1+mx$;  (Ⅱ) 对于 $n \geq 6$, 已知 $(1-\dfrac{1}{n+3})^m < \dfrac{1}{2}$, 求证 $(1-\dfrac{m}{m+3})^m < \dfrac{1}{2}$, 求证 $(1-\dfrac{m}{n+3})^m < (\dfrac{1}{2})^m$, $m=1, 2, \cdots, n$;  (Ⅲ) 求满足等式 $3^n+4^n+\cdots +(n+2)^n=(n+3)^m$ 的所有正整数 $n$.

    来源: 
    2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷 理科数学)
    难度: 
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