高中数学

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19. 如图, 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b}=1~(a > b > 0)$ 与过点 $A~(2,0) B~(0,1)$ 的直线有且只有一个公共点 $T$, 且椭圆的离心率 $e=\dfrac{\sqrt3}{2}$.　(I) 求椭圆方程;　(II) 设 $F_1, F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点, $M$ 为线段 $AF_1$ 的中点, 求证: $ \angle ATM=\angle AF_1T$.

来源:

2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷理科数学)

难度:

题目分类

高中数学

2006年浙江高考理数

提示与解答

提示

提示 1: $(I)$ 过点 $A、B$ 的直线方程为 $\frac{x}{2}+y=1. \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 因为 $(b^2+\frac{1}{4}a^2)x^2-a^2x^2+a^2-a^2b^2=0$ 有惟一解, 所以 $ \triangle =a^2b^2(a^2+4b^2-4)=0(ab≠0)$, 故 $a^2+4b^2-4=0$. 由题意知 $a^2=2, b^2=\frac{1}{2}$, 故所求的椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+2y^2=1$. 提示 2: $(II)$ 由 $(I)$ 得 $c=\frac{\sqrt6}{2}$, 故 $F_1(-\frac{\sqrt6}{2}, 0), F_2(\frac{\sqrt6}{2}, 0)$, 从而 $M(1+\frac{\sqrt6}{4}, 0)\cdot\frac{x^2}{2}+2y^2=1$, 由 $y=-\frac{1}{2}x+1$, 解得 $x_1=x_2=1$, 所以 $T(1, \frac{1}{2})$. 由此可推出 $ \angle ATM= \angle AF_1T.$.

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