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高中数学

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14. 已知 $n$ 次多项式 $P_n(x)=a _0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n $ . 如果在一种算法中, 计算 $x _0^k~(k=2, 3, 4, \cdots, n)$ 的值需要 $k-1$ 次乘法, 计算 $P_3(x _0)$ 的值共需要 $9$ 次运算( $6$ 次乘法, $3$ 次加法), 那么计算 $P_n(x _0)$ 的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: $P _0(x _0)=a _0$, $P_{k+1}(x)=xP_k(x)+a_{k+1}~(k=0, l, 2, \cdots, n-1)$. 利用该算法, 计算 $ P_3(x _0)$ 的值共需要 $6$ 次运算, 计算 $P_n(x _0)$ 的值共需要 次运算.

    来源: 
    2005年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷 文科数学)
    难度: 
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