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高中数学

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22. 已知 $a$ 为正实数, $n$ 为自然数, 抛物线 $y=-x^2+\dfrac{a^n}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$. 设 $f(n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距. (I) 用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$; (II) 求对所有 $n$ 都有 $\dfrac{f(n)-1}{f(n)+1}\geq \dfrac{n^3}{n^3+1}$ 成立的 $a$ 的最小值; (III) 当 $0< a < 1$ 时, 比较 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{f(k)-f(2k)}$ 与 $\dfrac{27}{4}\cdot\dfrac{f(1)-f(n)}{f(0)-f(1)}$ 的大小, 并说明理由.

    来源: 
    2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷 理科数学)
    难度: 
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