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二项式定理

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二项式定理: $${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n-1}}b +  \cdots  + C_n^r{a^{n - r}}{b^r} +  \cdots  + C_n^n{b^n}(n \in {N^ * })$$

二项式定理的特点和性质:

⑴ `{(a + b)^n}`的展开式的各项都是 `n` 次式,即展开式应有下面形式的各项:

`a^n,a^{n-1}b,…,a^{n-r}b^r,…,b^n`,

⑵展开式各项的系数:

每个都不取 `b` 的情况有 `1` 种,即 `C_n^0` 种,`a^n` 的系数是 `C_n^0`;

恰有 `1` 个取 `b` 的情况有 `C_n^r` 种, `{a^n}b`的系数是 `C_n^1`,……,

恰有 `r` 个取 `b` 的情况有 `C_n^r` 种, `{a^{n - r}}{b^r}` 的系数是 `C_n^r`,……,

有 `n` 都取 `b` 的情况有 `C_n^n` 种, `{b^n}` 的系数是 `C_n^n`,

∴`{(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^n}b +  \cdots  + C_n^r{a^{n - r}}{b^r} +  \cdots  + C_n^n{b^n}(n \in {N^ * })`,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 `{(a + b)^n}` 的二项展开式,

⑶它有 `n + 1` 项,各项的系数 `C_n^r(r = 0,1, \cdots n)` 叫二项式系数,

⑷ `C_n^r{a^{n - r}}{b^r}` 叫二项展开式的通项,用 `{T_{r + 1}}` 表示,即通项 $${T_{r + 1}} = C_n^r{a^{n - r}}{b^r}.$$

⑸二项式定理中,设 `a = 1,b = x`,则 $${(1 + x)^n} = 1 + C_n^1x +  \cdots  + C_n^r{x^r} +  \cdots  + {x^n}.$$