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余弦定理

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余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值(cos)的数学式,参考右图,余弦定理指的是:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos~C\,$$

同理,也可以将其改为:

`b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos~B\,`;

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos~A\,`;

其中 `c` 是 `C` 角的对边,而 `a` 和 `b` 是 `B` 角的邻边.

勾股定理则是余弦定理的特殊情况,当 `C`为 `90^\circ` 时, `\cos~C=0` ,式子可被简化为 `c^2 = a^2 + b^2`.

当知道三角形的两边和夹角时,余弦定理可被用来计算第三边的长,或是当知道三边的长度时,可用来求出任何一个角.

即: \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)\(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)\(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).

从上面可知,余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.

余弦定理注意:

(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具;

(2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例;

(3)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一;

(4)运用余弦定理时,因为已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是唯一的.