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基本不等式

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定理1 (均值不等式)如果 `a,~b\in R`, 那么 `a^2+b^2 \geqslant 2ab`, 当且仅当 `a=b` 时, 等号成立.

定理2 (基本不等式) 如果 `a,~b>0`, 那么 `\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}`, 当且仅当 `a=b` 时, 等号成立.

如果 `a,~b` 都是正数, 我们就称 `\frac{a+b}{2}` 为 `a, b` 的算术平均, `\sqrt{ab}` 为 `a,~b` 的几何平均. 

两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

定理3 (基本不等式) 如果 `a,~b,~c \in R_+`, 那么 `\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}`, 当且仅当 `a=b=c` 时, 等号成立.

即 三个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

均值不等式 知识扩展:

设`{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}`是`n`个正实数,记

`{Q_n} = \sqrt {\frac{{{a_1}^2 + {a_2}^2 +  \cdots  + {a_n}^2}}{n}} `,`{A_n} = \frac{{{a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_n}}}{n}`,`{G_n} = \sqrt[n]{{{a_1}{a_2} \cdots {a_n}}}`,`{H_n} = \frac{n}{{\frac{1}{{{a_2}}} + \frac{1}{{{a_2}}} +  \cdots  + \frac{1}{{{a_n}}}}}`

则`{Q_n} \ge {A_n} \ge {G_n} \ge {H_n}`.其中等号成立的条件是`{a_1} = {a_2} =  \cdots  = {a_n}`, `{Q_n},{A_n},{G_n},{H_n}`分别成为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.

参考: 均值不等式的证明

  • 基本不等式的常用变形

1. `ab\leqslant \dfrac{a^2+b^2}{2}`;

2. `ab\leqslant (\dfrac{a+b}{2})^2`;

3. `(\dfrac{a+b}{2})^2 \leqslant \dfrac{a^2+b^2}{2}`, 变形一下 `\dfrac{(a+b)^2}{2} \leqslant a^2+b^2`;

  两边同时开放得到:

4. `a + b \leqslant \sqrt {2({a^2} + {b^2})}`;

  同理, 推理得:

5. `\sqrt{a} + \sqrt{b} \leqslant \sqrt {2(a + b)}`;

6. 若 `b>0`, 则 `\dfrac{a^2}{b}\geqslant 2a-b`;

7. `a,b\in R^*`, 则 `\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant \dfrac{4}{a+b}`;

8. `a,b\in R^*`, 则 `(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})^2 \geqslant \dfrac{4}{ab}`;

9. 若 `ab \ne 0`,则 `\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \geqslant \frac{1}{2}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2}`

上述不等式中等号成立的充要条件均为:`a=b`.

10.若 `m,n \in {R^ + },a,b \in R` ,则 `\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n} \ge \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{m + n}}` (当且仅当 `an = bm` 时等号成立)

11. `{(a + b + c)^2} \le 3({a^2} + {b^2} + {c^2})` (当且仅当 `a = b = c` 时等号成立)