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奈望林纳

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奈望林纳

庄圻泰

(北京大学)

奈望林纳,R.H.(Nevanlinna,Rolf Herman)1895年10月22日生于芬兰约恩苏;1980年5月28日卒于芬兰赫尔辛基,数学.

奈望林纳出生于芬兰的一个说瑞典语的家族,其中有士兵、科学家和工程师.家族的原名是奈奥未斯(Neovius),1906年他的父亲将此名改为奈望林纳.他的祖父在一个学校教数学和地形学.他的外祖父是天文学家.他的父亲O.W.奈望林纳生于1867年,曾在赫尔辛基大学学习数学、物理和天文并获得博士学位,1892年与M.隆贝尔格(Romberg)结婚后,定居在约恩苏并作教员,生了四个子女.在数学和物理方面,奈望林纳都受到父亲的教益.他的母亲是一个出色的钢琴家.他13岁时和哥哥F.奈望林纳进了一个管弦乐学校并成为音乐家.他的哥哥拉大提琴,他拉小提琴.1919年6月4日他同他的姑母的女儿玛利(Mary)结婚,同一天获得数学博士学位.结婚后生有四个子女.1958年他与玛利分离,并与悉尼可(Sinikka)结婚,生了一个女儿.

1902年,奈望林纳开始在小学读书.后来他随着家庭搬到赫尔辛基,在那里进了一个较好的小学,除学芬兰语以外,也学了德语和法语.在中学,他的学习成绩很好,他的主要兴趣在古典文学和数学.进大学以前,他就读了E.L.林德洛夫(Lindelf)著的《高等分析引论》(Introduction to higher analysis)并作了书中的全部习题.1913年他进了赫尔辛基大学.林德洛夫是该校的一位杰出的科学家,为人很热情,对奈望林纳有不少帮助,他在1918—1919年期间全力撰写博士论文,取得令人满意的结果.论文题目是“关于在预给点取预给值的有界函数”(ber beschrnkte Funktionendie in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen).

1919年奈望林纳毕业后,在大学里找不到工作,便作了中学教师.他的哥哥F.奈望林纳在一个保险公司工作.于是他也到保险公司工作,同时还在学校上课.在这些年里,他已经开始研究并发展他创建的理论,后来称为奈望林纳理论.在这项研究中,特别是在位势理论方面,他和F.奈望林纳合作.1922年,他成为赫尔辛基大学的讲师,1926年晋升为该校的教授.这时他才停止在原来的学校上课.他和F.奈望林纳经常讨论问题,这对于他的理论研究很有影响.1922年他参加了在赫尔辛基举行的第五次斯堪的那维亚数学会议.在那里他遇到M.G.米塔-列夫勒(Mittag-Leffler)、玻尔(Bohr)兄弟、T.卡尔曼(Carleman)和H.克拉默尔(Cramer).他极力支持召开国际数学会议,认为这对于年轻数学家是一个较全面了解数学发展情况的机会,同时数学家们可以进行一些富有成效的接触.

1920年, E.G.H.兰道(Landau)曾邀请奈望林纳去格丁根访问,1924年他应邀前往.在那里他见到D.希尔伯特(Hilbert)、兰道及R.库朗(Courant).希尔伯特听了他作的演讲以后,说:“你在数学的墙上开了一个洞,过不久其他研究人员就将它封闭.”不过他的理论后来引起一系列的研究工作,像风不断地吹入那个洞.

在林德洛夫的安排下,奈望林纳于1926年访问了巴黎,他在那里见到了J.阿达玛(Hadamard)、P.A.孟德尔(Montel)和A.布洛赫(Bloch).1928年在L.V.阿尔福斯(Ahlfors)的陪伴下,他访问了曲里希(Zürich),他建议阿尔夫斯研究A.当儒瓦(De_njoy)提出的一个猜测.阿尔夫斯证明了这个猜测并因此在1936年得到菲尔兹(Fields)奖.1936—1937年,他作为客座教授又一次访问了格丁根.在这里他第一次有了一个助教,即H.维提希(Wittich).

在第二次世界大战中,奈望林纳找出了一个检查弹道学的表格的方法.

1941年奈望林纳成为赫尔辛基大学的校长.由于他是亲德的,1945年被免去这个职务.1948年在新成立的芬兰科学院中,他成为12位院士中的一位.在这以后的15年中他一直在曲里希作客座教授.

奈望林纳的学生中有O.莱陶(Lehto)、L.R.沙里奥(Sario)、H.凯勒(Keller)、A.施泰纳(Steiner)、K.斯特莱贝尔(Strebel)等.

第二次世界大战以后,奈望林纳的兴趣开始转到变分法和对物理的应用方面.不过他还是很关心他创建的理论在数学界中的进展情况.此外,他还为芬兰引进第一台计算机并在大学里设立计算机科学专业尽了一份力量.

从1959年起到1962年止,奈望林纳是国际数学家协会(I.M.U)的主席.

奈望林纳睡眠的时间比较少,在30年代的后期他常常早晨四时即起床.但他工作的时间是很长的,晚间和星期日对于他是宝贵的作研究的时间.最后当他病危的时候,他问医生:“我是否还能工作?”当他听见医生回答不能再工作,他就拒绝进食,而只喝点饮料.

由于奈望林纳理论的重要性,他得到许多荣誉.他是德国、英国、匈牙利和土耳其等国的大学的名誉博士,芬兰、德国、法国、瑞典、丹麦和匈牙利等国的研究院的名誉院士,芬兰、英国、瑞士等国的数学会的名誉会员,并且是曲里希大学的名誉教授.此外,他还得到国际维许里(Wihuri)奖和亨里可·斯太芬(Henrik Steffens)奖.

奈望林纳在他的博士论文(1919)和随后的研究工作中,完全解决了关于在圆|z|<1内满足条件|f(z)|<1的全纯函数f(z)的一个插值问题.1921年他得到关于星形单叶函数的精确的系数估计.不过他在国际上的崇高声誉是来自他创建的亚纯函数值分布理论.在说明这个理论以前,先回顾一下历史上的有关情况.

E.皮卡(Picard)于1879年证明了下述两个定理:

如果一个整函数f(z)不取两个有穷值,则f(z)为一常数.

如果一个函数f(z)在一孤立本性奇点的邻域内为全纯,则在此邻域内f(z)取每一有穷值无穷次,最多除去一个例外值.

值分布理论就是从这两个定理开始的.

皮卡的定理发表以后,在一段时期内曾处于孤立状态.一直到E.波莱尔(Borel)的工作(1897)出来以后,情况才有了改变.波莱尔的第一项工作是绘出皮卡第一定理的一个初等证明,其中只用到全纯函数及增函数的一些性质而没有用到模函数.波莱尔的第二项工作如下:首先,在E.N.拉盖尔(Laguerre)引进的整函数的格的概念(1882)和H.庞加莱(Poincaré)的一个有关定理(1883)的影响下,波莱尔定义一个整函数f(z)的级ρ=ρ(f)为

 

其中

 

然后波莱尔证明了下列定理:

设f(z)为一整函数,其级ρ满足0<ρ<+∞.以n(r,a)表示函数f(z)-a在圆|z|≤r上的零点的个数(按重级计算).则对于每一有穷值a有

 

最多除去一个例外值.

这个定理的主要一点是把方程

f(z)=a

的根在复平面的分布的稠密情况和函数f(z)的最大模M(r,f)的增长性连系起来,而根据皮卡的第二定理只知道这个方程有无穷个根.在这个意义下,波莱尔的上述定理发展了皮卡定理.

这里必须指出,在波莱尔的上述工作以前,J.阿达玛(Hada-mard)已在1893年证明了对于每一个有穷值a有

 

另外,在上述定理的证明中,波莱尔用了阿达玛的著名的关于整函数展为无穷乘积的定理.

在波莱尔的工作以后,G.瓦利隆(G.Valiron)(1913)和O.布鲁门塔尔(Blumenthal)(1910)分别对于零级的整函数和无穷级的整函数进行了研究.

对于复平面上的亚纯函数f(z),波莱尔也给出了级的定义:利用f(z)的极点作一典型乘积G(z),于是H(z)=G(z)f(z)为一整函数并有

 

设ρ1及ρ2分别是G(z)和H(z)的级.波莱尔定义f(z)的级为

ρ=max(ρ1,ρ2).

根据这个定义,他将上述的关于整函数的定理推广到复平面上的亚纯函数.

显然,在这里定义级的方式不同于利用logM(r,f)定义整函数的级的方式.当f(z)为一整函数时,logM(r,f)是r的增函数,并且根据阿达玛的三圆定理,也是logr的凸函数.但当f(z)为复平面上的亚纯函数时,如果在一圆|z|=r0上f(z)有一个极点,则logM(r0,f)即为+∞,因此logM(r,f)不再适宜用来刻画增长性.

奈望林纳的理论建立以后,亚纯函数的值分布方面的研究有了巨大发展,达到相当完善的地步.在他的理论中,整函数被看做是复平面上的亚纯函数的一个特别情形.因此,一些关于复平面上的亚纯函数的定理隐含着关于整函数的相应定理.

现在扼要地对于奈望林纳(1925)的亚纯函数值分布理论作一说明.为了叙述方便起见,在以下复平面上的亚纯函数即简称为亚纯函数,并假定不为常数.奈望林纳从仁申(Jensen)公式出发:

 

其中aj(j=1,2,…,h)及bj(j=1,2,…,k)分别是亚纯函数f(z)在圆|z|≤r的零点及极点.在这里假定f(0)≠0,∞,应用瓦利隆(1913)的一个结果,他将公式中两个和数表示为

 

其中n(t,0)及n(t,∞)分别为函数f(z)在圆|z|≤t的零点个数及极点个数(均按重级计算).另一方面,他定义

 

并将公式中的积分分成两部分:

 

于是仁申公式可写为

 

在这个公式中假定了f(0)≠0,∞.在一般情形,奈望林纳定义

 

并有公式

 

(4)其中cλ为在原点的邻域内,函数f(z)的下列展式中的系数:

f(z)=cλzλ+cλ+1zλ+1+…(cλ≠0).

根据式(4)不难证明:对于任意一个有穷值a有

 

奈望林纳称这个公式为第一基本定理.他定义

T(r,f)=m(r,f)+N(r,f) (6)

为亚纯函数f(z)的特征函数.由式(5)容易推出

 

1929年,H.嘉当(Cartan)得到下列公式:

 

其中A为一常数.由此公式又推出:T(r,f)为r的非减函数并为log r的凸函数.这个事实,奈望林纳早已用不同的方法给出证明.T(r,f)的这些性质近似于关于整函数的log M(r,f)的性质.奈望林纳定义一个亚纯函数f(z)的级ρ=ρ(f)为

 

他证明当f(z)为整函数时,式(7)定义的级与式(1)定义的级相等,而且当f(z)为亚纯函数时,式(7)定义的级也与波莱尔定义的级是一致的.

第一基本定理的一个简单推论是

 

这个不等式包含式(2).

在奈望林纳的理论中,下列公式起着重要作用:

 

其中f(z)为一亚纯函数,aj(j=1,2,…,h)和bj(j=1,2,…,k)分别是f(z)在圆|z|<r内的零点和极点.此公式在圆|z|<r内成立.奈望林纳称此公式为泊松-仁申(Poisson-Jensen)公式,它是仁申公式的推广.特别在式(9)取z=0(假定f(0)≠0,∞),即得式(3).

从公式(9)出发,奈望林纳得到估计式

 

在其中,当f(z)为无穷级时,可能须假定r不属于一个总长度为有穷的区间序列.

为了叙述方便,先写出奈望林纳引进的下列符号:

 

其中f(z)为一亚纯函数.

利用估计式(10),他证明了下列不等式:

 

其中aj(j=1,2,…,q)(q≥3)均为任意q个互相判别的有穷或无穷的值,

 

并且S(r)在关于无穷级情形的相同条件下,满足估计式(10).

奈望林纳称不等式(11)为第二基本定理.应该指出他只在q=3的情形证明了不等式(11).对于一般的q的情形,不等式(11)是J.E.李特尔伍德(Littlewood)和E.F.科林伍德(Colling-wood)在1924年差不多同时得到的.

对于不等式(11)的某些应用,将其中的非负项N1(r)略去即已够用.例如在不等式(11)中取q=3并略去N1(r),即可用来证明关于亚纯函数的皮卡定理和波莱尔定理,而且还可证明:若f(z)为一超越亚纯函数,则对于任意的值a有

 

最多除去两个例外值.此外,对于一般的q并略去N1(r),可根据不等式(11)证明:若f(z)为一超越亚纯函数,则有

 

奈望林纳引进符号

 

显然0≤δ(a)≤1.于是不等式(12)可写为

 

根据这个不等式,他证明满足条件δ(a)>0的值a最多有可数个,这样值a称为f(z)的亏值,相应的数δ(a)称为亏量,亏量的总和

 

这是奈望林纳的一个著名定理.

不等式(11);不略去N1(r),隐合不等式

 

 

=a的每一个根只计算一次,而对于后者,按重级计算.另外,不等式(14)与(11)中的S(r)的意义相同.由不等式(14)可以推出,对于一个超越亚纯函数f(z),有

 

仿上,奈望林纳引进符号

 

显然亦有0≤θ(a)≤1,并且满足条件θ(a)>0的值a最多有可数个,相应的θ(a)的总和

 

这个不等式比不等式(13)精确,

奈望林纳还引进与重值有关的符号

 

亦有0≤μ(a)≤1,并且由于δ(a)+μ(a)≤θ(a),满足条件μ(a)>0的值a也最多有可数个而且相应的μ(a)的总和

 

以上讨论的是复平面上的亚纯函数.对于在单位圆 |z|<1内的亚纯函数,奈望林纳也类似地建立了一个理论.此外,关于在角域的亚纯函数,他也建立了一个理论.奈望林纳的亚纯函数理论引起了国际上的大量研究工作.

奈望林纳的学术成就,还包括调和测度概念的引进和关于黎曼曲面的工作.