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定积分

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  • 定积分的概念

定积分概念: 如果函数 `f(x)` 在区间 `[a,b]` 上连续, 用分点$$ a=x_0<x_1< \cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots <x_n=b $$将区间[a,b]等分成 `n` 个小区间, 在每个小区间 `[x_{i-1},x_i]` 上任取一点 `\xi~(i=1,2,\cdots,n)`, 作和式$$\begin{matrix} \sum_{i=1}^N f(\xi_i)\Delta x=\sum_{i=1}^N \frac{b-a}{n}f(\xi_i)\end{matrix},$$

当 `n \to \infty` 时, 上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫函数 `f(x)` 在区间 `[a,b]` 上的定积分(definite integral), 记作 `\int_{a}^{b} f(x) \, dx` , 即 $$\begin{matrix} \int_{a}^{b} f(x)\, dx=\lim_{n \to \infty}{\sum_{i=1}^N \frac{b-a}{n}f(\xi_i)} \end{matrix},$$这里, `a` 与 `b` 分别叫做 积分下限 与 积分上限 , 区间 `[a,b]` 叫做积分区间, 函数 `f(x)` 叫做被积分函数, `x` 叫做积分变量, `f(x)\, dx` 叫做被积式.

  • 定积分的性质

`\begin{matrix}(1) \int_{a}^{b}k f(x)\, dx= k \int_{a}^{b} f(x)\, dx (k为常数); \end{matrix}`

`\begin{matrix}(2) \int_{a}^{b}[ f_1(x)\pm f_2(x)]\, dx= \int_{a}^{b} f_1(x)\, dx \pm \int_{a}^{b}f_2(x)\, dx; \end{matrix}`

`\begin{matrix}(3) \int_{a}^{b} f(x)\, dx= \int_{a}^{c} f(x)\, dx+ \int_{c}^{b}f(x)\, dx~(其中~a<c<b~) . \end{matrix}`

  • 微积分基本定理

设函数\(f(x)\)是在区间\([a,b]\)上连续,且`F\left( x \right)`是\(f(x)\)是在\([a,b]\)上的任意一个原函数,即\({F'}(x) = f(x)\),则\(\int {_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)} \),或记为\(\int {_a^bf(x)dx = F\left( x \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b\\a\end{array}} \right. = } \) \(F(b) - F(a)\),称为牛顿莱布尼兹公式,也称为微积分基本定理.

该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,只要求出被积函数`f\left( x \right)`的一个原函数`F\left( x \right)`.然后计算原函数`F\left( x \right)`在区间`\left[ {a,b} \right]`上的增量\(F(b) - F(a)\)即可,这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系.