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为了能够表示某些几何量(如长度、面积、体积)和物理量(如速度、力和大小),人类很早就发现,仅使用有理数是不够的,必须引进新的数。约在公元前 530 年,毕达哥拉斯学派已经知道长为 1 的正方形的对角线的长度(即 `\sqrt{2}`)不能是有理数。除了同类量可以相加外,这些量还具有“无限可分性:”的特征,即任一量可不断分割。这是实数系连续性的体现。

虽然无理数的引进和使用是很早以前的事情,可实数系的逻辑基础直到19 世纪 70 年代才得以奠定。从 19 世纪 20 年代开始的数学分析严密化的潮流,使数学家们认识到必须建立严格的实数理论,尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面作出了杰出贡献的数学家有 K.外尔斯特拉斯、H.G.R 梅雷、R.戴德金与 G.康托尔等。

构造实数系途径,大体说来有两条,一是戴德金的途径,另一条是康托尔等人的途径。

戴德金实数理论。戴德金在《连续性与无理数》(1872)一文中生动地描绘了当时微积分所面临的困难,并指出,摆脱困境的出路在于使几何算术化。他解决问题的出发点是有理数集 Q 的次序性。例如:`\sqrt{2}` 作为一个数,其特征是在大于一切负有理数、零、及适合 `a^2 < 2` 的一切正有理数 a,而小于一切适合 `a^2 > 2` 的正有理数。由此,考虑有理数的划分来建立实数。设 A,B 是 Q 的非空子集。 如果 \(Q=A\cup B\) , 且对任何 `a\in A` ,`b\in B` 必有 `a< b`, 则称 `(A, B)` 为 `Q` 的一个划分。有理数的一个划分定义一个实数。对有理数的一个划分 `(A,B)`,有三种情形:

①`A` 有最大元,`B` 无最小元;

②`A`无最大元,`B` 有最小元;

③`A`无最大元, `B` 元最小元。

①及②实质相同,这时称 `(A, B)` 定义一个有理数,即① `A` 的最大元,② `B` 的最小元,对应于 `(A,B)`,而③只能对应一个无理数。由此方法引入了无理数,并使有理数集自然地嵌入到实数集中,从而奠定了实数理论的基础。

康托尔实数理论。康托尔与梅雷从完备性着眼提出定义实数的另一种方法。例如:`\sqrt{2}` 可以用有理数序列{1, 1.4,1.41,1.414,„}去逼近。因为这个序列是有理数的柯西序列,所以考虑到用有理数的柯西序列来定义实数。但 `\sqrt{2}` 还可以用另外的有理数柯西序列来定义,因此,必须引入等价关系。设 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty},~\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是有理数的两个柯西序列,如果对每个正有理数 `r`,存在自然数 `N` , 使得当 `n≥N` 时, 有 \(-r< a_n-b_n< r\) 则 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty},\sim \{b_n\}_{n=1}^{\infty}\) 这是一个等价关系。 有理数的柯西序列的集关于这个等价关系的类,称为实数。一切实数构成的集,记为 `R`。 对有理数 `α`,令序列 \(\{a,a \cdots \}\)所在的等价类(仍记为有理数 `a`)与之对应,就把有理数嵌入到实数中。不是有理数的实数,称为无理数。