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对数与对数运算

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  • 对数定义

如果$a^n=x$  (其中 \(a>0\),且\(a \neq 1\)),那么数 $n$ 叫做以$a$为底$x$的对数(logarithm),记作 $\log_{a}{x}$  其中,$a$ 叫做对数的底数, $x$ 叫做真数,  $n$ 叫做“以 $a$ 为底 $x$ 的对数”.

  • 对数的运算性质

如果 `a>0`, 且 `a\neq 1,~M>0, N>0`, 那么:

(1)`a^{(\log_ab)}=b`;

(2)`\log_aMN=\log_aM+\log_aN`;

(3)`\log_a{\frac{M}{N}}=\log_aM-\log_aN`;

(4)`\log_a{M^n}=n\log_aM~~(n\in R)`;

(5)`\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab~~(n\in R)`.

  • 对数的换低公式与推导

换低公式: `\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}~~~(a>0,~且~a\neq1;~~c>0,~且~c\neq1;~b>0)`.

换低公式的推导:

先证明`\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab`,

令 `\log_{a^n}b=t \Rightarrow b=a^{nt} \Rightarrow \log_ab=\log_aa^{nt}`

`\Rightarrow \log_ab=nt \Rightarrow t=\frac{1}{n}\log_ab`

` \Rightarrow \log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab`. 

在 `\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}` 中, 令 `\log_cb=M,~\log_ca=N`

`\Rightarrow b=c^M,~a=c^N `

`\Rightarrow \log_ab=\log_{c^N}{c^M}=\frac{M}{N}=右边 `

所以, `\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}`.

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