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数列

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数列: 按一定次序排列的一列数.

项: 数列中的每一个数都叫这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,……第n项,……

数列的一般形式可以写成 `a_1,a_2,a_3,…,a_n,……` , 其中`a_n`是数列的第 `n` 项,有时我们把上面的数列简记作 `\{a_n\}`. 

通项公式: 如果数列 `\{a_n\}` 的第 `n` 项 `a_n` 与 `n` 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式,如数列`1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},`……,的通项公式为`a_n=\frac{1}{2^n}`.

递推公式:如果已知数列 `\{a_n\}` 的第1项(或前几项),且任一项`a_n`与它的前一项`a_{n-1}`(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法,如在数列 `\{a_n\}` 中,`a_1=1`,以后各项中公式`a_n=1+ \frac{1}{a_{n-1}}`给出,也可求这个数列中的任意一项.

  • 数列的表示

①数列的自然语言表示,例如数列的奇数项是 `0`,偶数项是 `2`.

②数列的集合符号表示,例如数列 \(\{a_n\}\)\(\{a_n=\frac{1}{2^n}\}\) 或 \(\{\frac{1}{2^n}\}\).

③数列的列举表示,例如数列 `2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19`.

④数列的通项公式描述表示,例如数列 \(a_n=3·2^n-5(n\in N^+)\).

⑤数列的列表表示,例如

数列表示,成长吧啊

⑥数列的图象表示,例如

数列的表示,成长吧啊

⑦数列的递推表示,例如数列 \(\{a_n\}\)\(a_1=1\)\(a_n=1+\frac{1}{a_{n-1}}(n>1)\).

⑧数列的几何表示,例如谢宾斯基(Sierpinski)三角形

数列的表示,成长吧啊

注意:

(1)\(\{a_n\}\)\(a_n\) 是不同的: \(\{a_n\}\)表示数列 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\)\(a_n\) 只表示这个数列的第n项.

(2)通项公式代表数列中的任何一项,但并非所有的数列都能写出它的通项公式,如 \(\sqrt{2}\)的近似值形成的数列,1,1.4,1.41,1.414,…就没有通项公式.

(3)对于一个确定的数列,其通项公式并不一定唯一.

数列的分类

(1)按照数列的项数多少进行分类:项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列.

(2)我们还可以按照数列的每一项随序号变化的情况对数列进行分类:

递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。如1,3,5,7,9,….

递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。如:10,5,0,-5,-10,….

常数列:各项相等的数列。如:2,2,2,….

摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列。如:-1,1,-1,1,-1,1….

数列的图象

在直角坐标系中,数列的图象是孤立有序点集.

成长吧啊,数列的图象

数列的性质

单调性

单调递增数列: \(a_{n+1}>a_n(n\in N^*)\).

单调递减数列:  `a_{n+1} < a_n (n\in N^*)`.

②周期性:

如,下列数列的周期 `T=2`:

\(\{(-1)^n\}\): `-1,1,-1,1,-1,1,-1,\cdots`

\(\{\frac{1+(-1)^n}{2}\}\): `0,1,0,1,0,1,0,1,\cdots`

③有界性:

设数列 \(\{a_n\}\),如果 \(\exists\)常数 `M`,使得 `|a_n| <  M` 或 `a_n <  M` 或 \(a_n>M\) 对所有的 `n∈N^*` 都成立,则称数列  \(\{a_n\}\) 是有界的, `M` 是数列 \(\{a_n\}\) 的界.

如: \(\{a_n=\frac{1}{2^2}\}\). `0 < a_n \le \frac{1}{2}~(n\in N^*)` .

数列通项公式与前n项和的关系

(1)关系

`a_n=f(n)=\begin{cases} S_1 (n=1) \\ S_n-S_{n-1} (n\ge 2)\end{cases}`.

`S_n=g(n)=a_1+a_2+\cdots+a_n`.

(2)应用

a.已知 `a_n` 求 `S_n`;

 

  • 数列通项公式的求法

⑴已知前 `n` 项—可用观察法,通常先将每项进行合理的等价变形,以便发现数列的项与项数 `n` 的关系,然后用不完全归纳法得出通项公式.

⑵已知 `S_n`,可用 `a_n=\begin{cases} S_1~~(n=1) \\ S_n-S_{n-1}~~(n \ge 2) \end{cases}` .

⑶已知首项 `a_1`,递推公式为 `a_{n+1}=qa_n+b~(n \in N^*)`,可构造数列 `\{a_n+a \}`,使其满足 `a_{n+1}+a=q(a_n+a)`,其中 `a` 可由待定系数法确定,即 `qa_n+b=a_{n+1}=qa_n+(q-1)a \iff a=\frac{b}{q-1}~(q\neq 1)` 最后转化为可用累加累乘或基本数列知识来解决的数列.

⑷已知 `a_1` 且 `a_n-a_{n-1}=f(n)`,可用“累加法”.即

`a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+ \cdots +(a_2-a_1)+a_1`.

⑸已知 `a_1` 且 `\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)`,可用“累乘法

即 `a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}·\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}·\cdots·\frac{a_2}{a_1}·a_1`.

数列求和方法之错位相减法

错位相减源于等比数列求和,形如 `\{a_n,b_n\}`的数列,其中 `\{a_n\}` 为等差数列,`\{b_n\}` 为等比数列,均可用此法.

错位相减法主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.

经典实例:

求数列 `\{n·2^2\}` 的前 `n` 项和 `S_n`

解: `S_n=1·2^1+2·2^2+3·2^3+ \cdots + n·2^n`

`2S_n=1·2^2+2·2^3+3·2^4+ \cdots + n·2^{n+1}`

两式相减得: `S_n=n·2^{n+1}-2^{n+1}+2`

数列求和方法之分组转化法

分组转化法就是把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.

求数列 `\{n(n+1)(2n+1)\}` 的前 `n` 项和 `S_n`.

:∵ `a_k=k(k+1)(2k+1)=2k^3+3k^2+k`

∴ `S_n=2(1^3+2^3+3^3+ \cdots + n^3)+3(1^2+2^2+ \cdots +n^2)+(1+2+3+\cdots +n)`

`= \frac{n^2(n+1)^2}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}`

`=\frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}`

数列求和方法之裂项相消法

裂项相消法就是把数列的通项公式拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.

形如: `a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}`;

`a_n=\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3})`

都可以使用此法进行求和计算.

数列求和方法之倒序相加法

倒序相加法就是把数列的正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.

倒序相加源于等差数列求和,利用与首末两项等距的两项相加后有公因子可提,以便化简化求和.