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数学之美--高等数学、线性代数、概率与数理统计、几何学这些知识可以用来干什么?主要应用有哪些?

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数学之美--高等数学、线性代数、概率与数理统计、几何学这些知识可以用来干什么?主要应用有哪些?

作者:谢漠烟 西贝心合

谢漠烟

其他三项,不研究少数工科确实没用,但概率统计真乃应用数学之王。鄙人学业从数学院开始,以经济学院结束,现在在证券公司做苦逼行业研究,深有体会。

概率统计抛开了数学中的「确定性」,以「不确定性」的视角看待世界,并且做出了「量化不确定性」的壮志,这种气魄,真的不是其他数学分支能够比拟的。

大多数数学分支,比如数学分析(对不起,高等数学这么业余的词我实在不习惯),都是站在高峰看人类,是上帝的视角,研究出美轮美奂的数学公理框架。

但是概率统计,真正贴合日常生活中人类的感知。

在社会中,并不存在「给你一个因为,你还给我一个所以」的确定性。一切社会规律,都需要概率统计来挖掘!所以,绝大多数社会科学最终都会通过概率统计走向量化,这也是现在「经济学帝国主义」泛滥的原因——毕竟经济学是数学渗透最狠的社会科学了。

举几个例子。

1. 经济学

经济学中,被称为恐怕是经济学最准确的定理是恩格尔系数:随着收入的提高,食物消费比重下降。这个如果没有概率统计的挖掘,仅仅凭眼睛去看是无效的。
因为恩格尔系数定理,如果翻译成数学语言:其实是「当收入提高时,在 90%的情况下,食物消费比重有所下降」。只有明白了这一点,才能够有力驳斥对恩格尔系数的质疑——毕竟你总能找到增加了一点收入就去吃一顿大餐的反例。

2. 游戏营销

游戏营销中有一个很有用的指标,叫做 ARPU 值。即平均每用户收入,一个游戏 1 千万用户,每个月收入 5 千万,那么月 ARPU 就是 5 元。
学了概率统计的人,就应该很敏感地意识到,5 元的 ARPU 值,不是每多一个用户,就多 5 块钱的收入。5 元只是期望(均值),但是期望仅仅是数据分布中的一个重要指标而已,即使加上方差,也不能反映全部。

所以,5 元的 ARPU 值游戏,和另一个 5 元 ARPU 值游戏,是本质上不一样的!

这一点,突出反映在中国和海外的手机游戏的区别。

一旦用概率统计分析海内外游戏的差别,就会发现,同样 ARPU 值为 5 的手机游戏,中国游戏方差极大,而海外游戏方差小很多。

所以继续深挖,采用另一个统计指标 ARPPU,平均每付费用户收入。(上述游戏,如果有 100 万付费用户,ARPPU 为 50)

这个时候,你就能发现,同样是 ARPU 为 5 元的游戏,国内 ARPPU 可能是 100,而海外的是 30。

那么你需要做什么呢?这个时候经营过的人就能想出,面对海外市场,你应该扩大流量,让游戏好玩。面对国内市场,你要伺候好土豪,比如分级客服(交钱最多的 VIP1,其次的 VIP2,等等),比如弄几个人和金主土豪陪玩坑钱,等等等等。

而现在国内手游市场,就是这样做的。

3. 考试

用概率统计的思路,你就知道考试是由三方面决定的。一、水平(期望);二、稳定性(方差),以上两点决定了你分数的概率分布;三、运气(最后落在哪一个样本上)。

你能控制的只有前两项。

所以面对比较有希望的考试,或者高考这样考在每个分数都有用的考试,你应该做的是增加期望,减小方差两方面努力,就是努力做题目(提高期望),做题目做得面面俱到(减小方差)。

面对如数学竞赛这样考不上一等奖啥用都没有的考试,而你水平恰恰又差一个档次,希望相对较小,这时你要做的呢,就是努力做题目(提高期望),把最重要最可能考的类型钻研到很深,不太可能考的就算了(增加方差)。

4. 知乎

或许我这个答案赞同不是最多,但我有自信,如果用「赞同数/粉丝数」这个指标,我能排到比较前面。

呵呵,这个就不多解释了,大家都懂的。

但是量化之后,就能更进一步分析。比如前面说的「粉丝赞同率」指标,还有「非粉丝赞同数」指标等等,都可以画出曲线。

走了,苦逼行研写报告去了。因为回答这篇问题,我有 30%的可能要被老板骂了。

2013-10-04

西贝心合

大家从各个方面解释了这几课的功用,那我就从工程(机械工程)的角度来说明一下吧 。

第一,高等数学,这门课通用性之广可能是你所想不到的,举个例子(因为我是机电专业,故而例子大部分是机电设计):

PID 控制器,P 是比例,I 是积分,D 是微分,PID 控制器可以模拟电路,也可以是数字系统来模拟的电路,例如用单片机来模拟,但无论哪种方法,都涉及系统的参数设定,顾名思义,PID 需要比例参数,积分参数,微分参数,这三者的确定以及之后的运算,均是在高等数学的基础上的。

液压伺服阀,对于液压方面的计算,其实原理应用均为「流体力学」,对于流体力学,你们日后大概会接触到,通用公式,基本上都是需要高数基础来推导的。详情请去图书馆借阅《液体力学》 。

第二,线性代数,这门课,说实话,更是牛 B,我想你在高中时代肯定学过坐标系的转换,例如坐标平移,极坐标转换等等。那你现在想一个问题,给你一个两关节机械手,你如何控制这个机械手的运动问题,我如何控制各个伺服电机来决定这些机械的运动位置与力的大小呢?这些问题在《机器人运动学》与《机器人动力学》中有详细的探讨,如果让我告诉你,它们运用到的知识,可以这么说,用的是「矩阵」,我想通过线代的学习,你应该对它不会陌生,对矩阵的运算,如求逆阵啦,伴随阵啦,都需要。这只是在我了解的领域内知道的线代应用。

第三,概率与统计,我想这个不用我多说了,古典概率不必多讲,生活中用到它的情况比比皆是,还有一些实例,我想在课本上应该有所涉及,如医学上,用概率论来判断一种新型药物是否有效。统计呢,这个……以后你到公司里,不能一涉及账单就找财务吧,那财务还不忙死……还有很多问题账务也处理不了,因为如果涉及工业工程,学经济的财务还真不一定懂,你可以看一下《工程经济学》,这里面有很多统计方面的应用。

第四,几何学,对于一些经典的几何模型,其实我们每天都在用到,例如求圆周长,面积,求一些标准体的体积等等,只不过我们把这些知识划归了常识。而现代文明仅仅是这些基本的几何知识是远远不够的,所以我们要用很多高等数学的知识来解决一些几何问题,例如几何学中的一个重要的分支——解析几何,工程中常用的 Pro/E 三维软件,只要你构建了一个几何体,无论它有多么的不规则,只需要点一下求体积的按键,它就能给你算出来,如何实现呢?电脑运算快,但不智能,所以算法要你来写,用程序写出来,这些算法,其实就是高等数学中的解析几何啦,当然,不会那么简单,其中定然还要用到一些更高深的数学,例如一些有限元的算法之类的。(没有深入了解过 Pro/E 中的求体积算法,如若有误还请见谅)

如@陈然所说,这些课的学习能让你用一种区别于普通人的眼光来审视这个世界,你会惊奇地发现,这个世界其实是由数学构成的。(学美术的会认为世界是由颜色构成的,学文学的会认为世界是由思想汇聚的,学经济的会认识世界是由货币铸成的。)你可以更抽象地去认识这个世界,了解它的前因后果。 陈然的答案很棒,我也很赞同,不过我想,还是补充一些关于现实生活中能看到的「活生生」的例子比较好。

我在此作出这个解答的原因,也是希望大家知道,这些东西并不是所谓的一无所用,它们功用之大,超乎我们的想象,如果没有高等数学,你连一台普通机床都做不出来,更不必说什么数控系统了。

其实随着学习的深入你会发现,其实就你们学的这点儿高等数学,都不够用,如果你以后要自己做工程,肯定还要补习一些拉氏变换,傅氏变换,Z 变换,更有甚者要学一些专门领域才用得到的「专业」的数学,如《数值分析》,系统变式等,不过那时候,我想,你已经深入地了解到数学的意义了。

我曾经也迷惑过,但没有人给我解答过,但庆幸,我没有放下数学,物理,化学,现如今,才真切地发现这些学问之美,希望我的答案,对你有所帮助。

2012-04-23