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数学的发展史

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数学的发展史

主讲人:杨刚

一、数学的意义

数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,及其与社会政治、经济和一般文化的联系。英国科学史家丹皮尔说过:“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。数学是历史员悠久的人类纫识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明;从量地测天到抽象严密的公理化体系,在五千余年的数学历史长河中,重大数学思想的诞生与发展,确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。

当然,仅仅具有魅力并不能成为开设一门课程的充分理由。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身,还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。与其他知识学科相比,数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的。它们不仅不会推翻原有的理论,而且总是包容原先的理论。

例如,数的理论的演进就表现出明显的累积性;在几何学中,非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广;溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰;同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例,……。可以说,在数学的进化过程中,几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。如果我们对比天文学的“地心说” 、物理学的“以太说” 、化学的“燃素说”的命运,就可以看清数学发展不同于其他学科的这种特点。

因此有的数学史家认为“在大多数的学科里,一代人的建筑为下一代人所拆毁,一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学,每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。” 这种说法虽然有些绝对,但却形象地说明了数学这幢大厦的累积特性。当我们为这幢大厦添砖加瓦时,有必要了解它的历史。按美国《数学评论》杂志的分类,当今数学包括了约60个二级学科,400多个三级学科,更细的分科已难以统计。面对着如此庞大的知识系统,职业数学家越来越被限制于一、二个专门领域。庞加莱(1854一1912)曾经被称为“最后一位数学通才”。

对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说,数学史是必读的篇章。数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位,是由数学作为一种文化的特点决定的。它具有:1、数学以抽象的形式,追求高度精确、可靠的知识。2、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索中追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。3、最后,数学作为一种创造性活动,还具有艺术的特征,这就是对美的追求。英国数学家和哲学家罗素(1872—1970)说过:“数学不仅拥有真理,而且拥有至高无上的美——    一种冷峻严肃的美”。

二、数学的定义               

数学本身是一个历史的概念,数学的内涵随着时代的变化而变化,给数学下—个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”。

1、公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学”。

2、16世纪英国哲学家培根(1561—1626)将数学分为“纯粹数学” 与“混合数学”。这里“混合数学”相当于应用数学,而培根所谓的“纯粹数学”则定义为:“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”。

3、在17世纪,笛卡儿(1596—1650) 认为:“凡是以研究顺序(order)和度量(measure)为目的的科学都与数学有关”。

4、19世纪恩格斯这样来论述数学:“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关”。根据恩格斯的论述,数学可以定义为:“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。”

5、19世纪晚期,集合论的创始人康托尔(1845—1918)曾经提出:“数学是绝对自由发展的学科,它只服从明显的思维,就是说它的概念必须摆脱自相矛盾,并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。

6、20世纪50年代,前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征:“现代数学就是各种量之间的可能的,一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。这里的“量”,被赋予了丰富的现代涵义:它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系,而且包括了一切可能的空间形式与数量关系(如几何学中的高维空间、无穷维空间;代数学中的群、域;分析中的泛函、算子;……等等)。

7、从20世纪80年代开始,又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者,将数学简单地定义为关于“模式”的科学:“【数学】这个领域己被称作模式的科学,其目的最要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。这一定义实际上是用“模式”代替了“量”,而所谓的“模式”有着极广泛的内涵,包括了数的模式,形的模式,运动与变化的模式,推理与通信的模式,行为的模式,……。这些模式可以是现实的,也可以是想象的;可以是定量的,也可以是定性的。

三、数学史的划分

一般可以按照如下线索:(1)按时代顺序; (2)按数学对象、方法等本身的质变过程; (3)按数学发展的社会背景。一般数学通史著作往往采取以某一线索为主,同时兼顾其他因素的做法。分期问题的深入讨论属于数学史专门研究的范围,而且存在许多争议。我们一般以数学思想为主,综合参考了各方面的论述,作出如下的分期:

1、数学的起源与早期发展(公元前6世纪前);2、初等数学时期(公元前6世纪一16世纪):(1)古代希腊数学(公元前6世纪-6世纪),(2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪) ,(3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪) ;3、近代数学时期(变量数学,17世纪-18世纪) ;4、现代数学时期(1820年一现在):(1)现代数学酝酿时期(1820’一1870) ,(2)现代数学形成时期(1870—1940’) ,(3)现代数学繁荣时期(当代数学时期,1950-现在)。

我们重点讲解: 1、古希腊数学史;2、中国古代数学发展史;3、微积分的创立和兴起;4、20世纪纯粹数学的趋势;5、20世纪应用数学的趋势。有时间我们还讲讲6、中国现代数学的开拓。

古希腊数学

-、论证数学的发端

希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间,活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识,在古代希腊城邦社会特有的唯理主义气氛中,这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。

普洛克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多谟斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理:

1.圆的直径将圆分为两个相等的部分;

2.等腰三角形两底角相等;

3.两相交直线形成的对顶角相等;

4.如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等,那么这两个三角形全等。传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题:半圆上的圆周角是直角。

希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(约公元前580一前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世,我们甚至不知道他们是否写过书面的著作。今人对毕拉哥拉斯生平与工作的了解,主要也是通过普洛克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注。今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织,但致力于哲学与数学的研究,相传“哲学”(意为“智力爱好”)和“数学”(意为“可学到的知识”)这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。

毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制,在希腊民主力量向涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉期本人也逃离克洛托内,不久被杀。希腊波斯战争(公元前492一前449)以后,雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心,希腊数学也随之走向繁荣,学派林立,主要有:1、伊利亚学派;2、诡辩学派;3、雅典学院(柏拉图学派);4、亚里士多德学派。

上述诸派多以哲学探讨为主,但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩,主要表现在以下三个方面。

1、三大几何问题    古希腊三大著名几何问题是: (1)化圆为方,即作一个与给定的圆面积相等的正方形;(2)倍立方体,即求作一立方体,使其体积等于已知立方体的两倍;(3)三等分角,即分任意角为三等分。

希腊人对三大作因问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。直到19世纪,数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。希腊人虽然没有能解决三大作图问题,但他们的探讨引出了许多重要发现,对整个希腊数学产生了巨大影响。

2、无限性概念的早期探索    希腊人在理性数学活动的早期,已经接触到了无限性、连续性等深刻的概念,对这些概念的探讨,也是雅典时期希腊数学的特征之一。

3、逻辑演绎结构的倡导   雅典时期,数学中的演绎化倾向有了实质性的进展,这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。柏拉图出身贵族名门,以万贯家财开设雅典学院。学院虽以哲学研究为主,但柏拉图认为数学是一切学问的基础。柏拉图本人虽末得到很多具体的数学成就,但对数学研究的方法却颇多贡献。普洛克鲁斯将分析法与归谬法归功于柏拉图。柏拉图给出了许多几何定义,并坚持数学知识作演绎整理。

二、黄金时代—亚历山大学派

从公元前338年希腊诸邦被马其领控制,至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年,史称希腊数学的“黄金时代”。 这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城。公元前300年左右,亚历山大兴建艺术宫(博物馆)和图书馆,提倡学术,罗致人才,使亚历山大成为希腊文化的首府,那里学者云集,先后出现了欧几里得阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家,他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。

1、欧几里得与几何《原本》:“原本” 原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这本原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷,包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题,构成了历史上第一个数学公理体系。第1卷作为全书之首,给出了一些最基本的定义,如“点是没有部分的”;“线是没有宽度的长”;“面是只有长度和宽度的”;等等。接下来我们一起来看看他的公理和公设。

公设:(1)假定从任意一点到任意一点可作一直线;(2)一条有限直线可不断延长;(3)以任意中心和直径可以画圆;(4)凡直角部彼此相等;(5)若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

公理:(1)等于同量的量彼此相等;(2)等量加等量,和相等;(3)等量减等量,差相等;(4)彼此重合的图形是全等的;(5)整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。

欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩,是在于数学中演绎范式的确立,这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论,而所有这样的推理链的共同出发点,是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。

2、阿基米德的数学成就:阿基米德(公元前287一前212)出生于西西里岛的叙拉古,早年曾在亚历山大城跟过欧几里得的门生学习,后来虽然离开了亚历山大,但仍与那里的师友保持着密切联系。他的许多成果都是通过与亚历山大学者的信而保存下来。因此,阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。阿基米德著述极为丰富,内容涉及数学、力学及天文学等,其中流传于世的有: (1)《圆的度量》;(2)《抛物线求积》;(3)《论螺线》;(4)《论球和圆柱》; (5)《论劈锥曲面和旋转椭球》; (6)《引理集》; (7)《处理力学问题的方法》; (8)《论平面图形的平衡或其重心》; (9)《论浮体》; (10)《砂粒计数》; (11)《牛群问题》。

阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。(1)在《圆的度量》中,阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆内接正三角形出发,边数逐次加倍,计算到正96边形而得到圆周率的近似于22/7;(2)在《论球和圆柱》中,阿基米德运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关的公式;(3)发现了浮力定律并用它来解决了皇冠难题;(4)与欧几里得相比,阿基米德可以说是一位应用数学家。“给我一个支点,我就可以移动地球!”这就是著名的杠杆原理的生动体现。

3、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论:阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学。但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结。这部以欧几里得严谨风格写成的巨著对圆锥曲线研究所达到的高度,直至17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前,始终无人能够超越。阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶(直圆或斜圆)锥得到所有的圆锥曲线,并给以正式的命名,现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。

《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段得到了今日解析几何的一些主要结论,这是令人惊叹的。但另一方面,这种纯几何的形式,不仅使这部著作本身晦涩难懂,同时也使其后数千年间的几何学裹足不前。几何学中的新时代,要到17世纪,笛卡儿等人起来打破希腊式的演绎传统后才得以来临。

三、亚历山大后期和希腊数学的衰落

崛起于意大利半岛中部的罗马民族,在公元前1世纪完全征服希腊各国而夺得了地中海地区的霸权,并建立了强大的罗马帝国。唯理的希腊文明从此被务实的罗马文明所取代。罗马统治下的亚历山大城,由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对那里的自由研究的宽松态度,在相当长—段时间内仍然维持着学术中心的地位,并产生了一批杰出的数学家和数学著作.通常把从公元前30年到公元6世纪的这—段时期,称为希腊数学的“亚历山大后期”。

微积分的发展史

微积分的创立与解析几何的发明一起,标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。

与积分学相比而言,微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试,如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法;阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线,等等。但所有这些都是基于静态的观点。

古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题,如郭守敬《按时历》中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题,但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”,即有限差分计算)来处理,从而回避了连续变化率。总之,在17世纪以前,真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。

一、微积分的酝酿        

近代微积分的酝酿,主要是在17世纪上半叶这半个世纪。为了理解这一酝酿的背景,我们首先来赂微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1608年,荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜,不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨,而且推动了光学的研究。

1619年,开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是:

1.行星运动的轨道是椭圆,太阳位于该椭圆的一个焦点;

2.由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等;

3.行星绕太阳公转周期的平方,与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律从数学上推证开普勒的经验定律,成为当时自然科学的中心课题之一。

1638年,伽利略的《关于两门新科学的对话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等,为动力学奠定了基础;他认识到弹道的抛物线性质,并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到,等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化,他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。凡此一切,标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段,而这种综合与突破所面临的数学困难,使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。

当时,人们主要集中的焦点有:非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急;望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线,这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避;确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。与此同时,行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。

在17世纪上半叶,几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具,特别是描述运动与变化的无限小算法,并且在相当短的时期内取得了迅速的进展。代表性的工作有:

1、开普勒与旋转体体积:开普勒方法的要旨,是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是天数个小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是球面的一部分;他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。

2、卡瓦列里不可分量原理:他在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成;面是由无限多条平行线段组成;立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积,他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子:

3、笛卡儿的“圆法”:笛卡儿的这种代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算,1658年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线切线的形式法则,称为“朗德法则”。朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法,可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。

4、费马求极大值和极小值方法:按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极值,费马用“a+e”代替原来的未知量a,并使f(a+e)与f(a)逼近,即:f(a+e)→f(a) ,这里所提到的“e”就是后来微积分学当中的

成长吧啊

5、巴罗的“微分三角形”:巴罗是牛顿的老师,是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”,也是英国皇家学会的首批会员。当巴罗发现和认识到牛顿的杰出才能时,便于1669年辞去了卢卡斯教授的职位,举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤,已成为科学史上的佳话。

6、沃利斯的“无穷算术”:沃利斯另“一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积,并由此得到的无穷乘积表达式。并有以下猜想:

二、牛顿的“流数术” 

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利赂、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记,从这些笔记可以看出,就数学思想的形成而言,笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年8月,剑桥大学因瘟疫流行而关闭,牛顿离校返乡,随后在家乡躲避瘟疫的两年,竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分,发现万有引力和颜色理论,……,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年描绘的。

1、流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。 就在此时,牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。 1665年夏至1667年春,牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月又建立了”反流数术”(积分法)。1666年 10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。

2、流数术的发展

《流数简论》标志着微积分的诞生,但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥,对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员,次年又获硕士学位,并不是因为他在微积分方面的工作,而是因为在望远镜制作方面的员献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里,牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说,先后写成了三篇微积分论文,它们分别是: (1)1669年的《运用无限多项方程的分析》; (2) 1671年的《流数法与无穷级数》;(3) 1691年的《曲线求积术》。

牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中。因此《原理》也成为数学史上的划时代著作。《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬,这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议。实际上,在牛顿的时代,建立微积分严格基础的时机尚不成熟,在这样的条件下,牛顿在大胆创造新算法的同时,坚持对微积分基础给出不同解释,说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度。 来源与网络