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整数--扩张阅读

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在自然数集 `N` 之外,再引入新的元素 `0,-1,-2,-3,„,-n,...`。称 `N` 中的元素为正整数,称 `0` 为零,称 `1,-2,-3,„,-n,...`。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

零不仅表示“无“它在命数法中还个有特殊的意义:表示空位的符号。

中国古代用算筹计数并进行运算,空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度——阿拉伯命数法中的零来自印度的零(sunya)字,其原意也是“空”或“空白”。

中国最早引入了负数。《九童算术²方程》中论述的“正负术”,就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程 `a+x=b`,如果 `a, b` 是自然数,则方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系。

关于整数系的严格理论,可用下述方法建立。在 `N×N`(即自然数有序对的集)上定义如下的等价关系:对于自然有序对 `(a_1,b_1)`, `(a_2,b_2)`, 如果 `a_1+b_2=a_2+b_1`, 就说 `(a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)`, `N×N` 关于上述等价关系的等价类,称为整数. 一切整数的集记为 `Z` .