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立方和公式

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  • 立方和公式

立方和公式: 这里指的是从自然数1开始的连续自然数的立方和.

`1^3 + 2^3 + \cdots + n^3= \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2`

立方和公式


  • 立方和公式证明

取公式:`(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1`

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出:

`(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1` …………⑴

`N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1` …………⑵

` (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1 ` …………⑶

…………

` 2^4-1^4=4\times1^3+6\times1^2+4\times1+1 ` …………(n).

于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有

左边= ` (N+1)^4-1 ` ;

右边= ` 4(1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+N^2)+4(1+2+3+\cdots+N)+N ` .

把以上这已经证得的三个公式代入,

 ` 4(1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+\cdots+N^2)+4(1+2+3+\cdots+N)+N=(N+1)^4-1 `

得 ` 4(1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N `

移项后得 ` 1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3=\frac{1}{4}(N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N) `

等号右侧合并同类项后得 ` 1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3=\frac{1}{4}(N^4+2N^3+N^2) `

即 ` 1^3+2^3+3^3+\cdots+N^3=\frac{1}{4}[N(N+1)]^2 `.