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第九章 李昂纳德·欧拉非凡的求和公式

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第九章

李昂纳德·欧拉非凡的求和公式

(1734年)

 

通晓数学的大师

在漫长的数学史中,李昂纳德·欧拉的遗产是无与伦比的。他博大精深和空前丰富的著述令人叹为观止。欧拉厚厚的70多卷文选,如此深远地改变了数学的面貌,足以证明这位谦和的瑞士人的非凡天才。实际上,面对他数量奇多,质量极高的著述,人们的第一个感觉便是,他的故事似乎是一部天方夜谭,而不是确凿的史实。

这位伟人于1707年出生在瑞士的巴塞尔。毫不奇怪,他在年轻时即表现出超人的天赋。欧拉的父亲是一个加尔文教派的牧师,他设法安排年轻的李昂纳德师从著名的约翰·伯努利。欧拉后来常常回忆起与他的老师伯努利在一起的这段时光。小欧拉经过一星期的学习准备,然后在每个星期六下午的指定时间里,去向伯努利请教一些数学问题。伯努利并非总是仁慈和蔼,最初常常为了学生的不足而发火;而欧拉则更加勤奋,尽可能不以琐事去烦扰老师。

不论约翰·伯努利的脾气是否很坏,他很快就发现了他学生的非凡天才。不久,欧拉就开始发表高质量的数学论文。19岁时,欧拉以其对船上安装桅杆的最佳位置的精彩分析而荣获了法国科学院颁发的奖金。(值得注意的是,那时,欧拉还从未见过海船!)

1727年,欧拉成为俄国圣彼得堡科学院的成员。当时,俄国建立科学院,是为了与巴黎和柏林的科学院相匹敌,以实现彼得大帝的梦想。在移居俄国的学者中,有一位是约翰的儿子丹尼尔·伯努利。通过丹尼尔的影响,欧拉谋得了职位。但奇怪的是,由于自然科学方面没有空缺,欧拉只能就任医学和生理学方面的职位。然而,职位毕竟是职位,欧拉欣然领受。开始的路程十分艰难,他甚至在俄国海军当了一段医官。终于,1733年,数学教授丹尼尔·伯努利辞职返回瑞士,欧拉接替了丹尼尔的职位。

当时,欧拉已显示出后来成为他整个数学生涯鲜明特征的过人精力和巨大创造力。虽然在18世纪30年代中期,欧拉的右眼开始失明,而且,不久就完全失明,但是,伤残并没有影响他的科学研究。他不屈不挠,解决了各个数学领域(如几何学、数论和组合)及应用领域(如机械学、流体动力学和光学)中的种种疑难问题。只要想象一下一个人在失明后还要向世界揭示光学的奥秘,我们就会受到强烈的感染和激励。

1741年,欧拉离开了圣彼得堡科学院,并应腓特烈大帝的邀请,成为柏林科学院院士。在一定程度上,他离开俄国是因为他不喜欢沙皇制度的压抑。但遗憾的是,柏林的情况也并不理想。腓特烈嫌他太单纯、太文静、太谦和。这位德国国王在一次提到欧拉的视力问题时,竟称欧拉为“数学独眼龙。”由于腓特烈的这种态度,以及科学院内部的一些明争暗斗,欧拉于俄国叶卡捷琳娜二世在位期间应邀返回了圣彼得堡。他后来一直住在俄国,直到17年后逝世。

欧拉的同时代人称他是一个善良和宽宏大量的人,他喜欢自己种菜和给他13个孩子讲故事。在这一方面,欧拉是一个受人欢迎的人物,恰与孤僻、缄默的艾萨克·牛顿形成鲜明对照,而牛顿确是少有的一位可与他比肩而立的数学大师。我们从中欣慰地看到,这一等天才并非个个都是神经质。甚至在1771年,欧拉的另一只眼睛也失明后,他仍然保持着这种温良的性格。尽管欧拉双目全盲,而且经常疼痛,但他依然坚持向他的助手口授他奇妙的方程和公式,在助手的帮助下,继续从事数学著述。正如失聪没有阻碍下一代的路德维希·冯·贝多芬的音乐创作一样,失明也同样没有阻碍李昂纳德·欧拉的数学探索。

欧拉的整个数学生涯,始终得益于他惊人的记忆力,对此,我们只能称他为超人。他在进行数论研究时,不但能够记住前100个素数,而且还能记住所有这些素数的平方、立方,甚至四次方、五次方和六次方。欧拉可以很轻松地背诵出诸如2414或3376的数值,而其他人却要忙着查表或笔算。但这还只是他显示非凡记忆力的一些小把戏。他能够进行复杂的心算,其中有些运算要求他必须要记住50位小数!法国物理学家弗朗索瓦·阿拉戈说,欧拉计算时似乎毫不费力,“就像人在呼吸,或鹰在翱翔一样轻松。”除此以外,欧拉还能够记住大量的论据、引语和诗歌,包括维吉尔的《埃涅阿斯纪》全篇,这部史诗是欧拉幼年时诵读的,时隔50年后,他依然能够一字不差地背出全文。任何一位小说作家都不敢编造出一个具有如此惊人记忆力的人物。

欧拉无与伦比的名望是与他的数学论著密不可分的。他的笔下,既有一些高难度的数学著作,也有一些初级数学书,而且,他并不认为如此就降低了身份。也许,他最著名的著作是他1748年发表的《无穷小分析引论》。这部不朽的数学论著可以与欧几里得的《原本》相比美。欧拉在这部著作中评述了前辈数学家的发现,组织并清理了他们的论证,其论著之精妙,使得绝大部分前人著作都显得陈腐。除《引论》一书外,1755年,欧拉出版了一卷本的《微分学原理》,1768—1774年,又相继出版了三卷本的《积分学原理》,从此确定了数学分析的方向,并一直延续至今。

欧拉所有著作的论述都非常清楚易懂,并且,他所选用的数学符号,都是为了将他的意思表达得更加清晰明了,而不是含混不清。对于今天的读者来说,欧拉的数学著述堪称是最早一些具有现代数学意味的著述;这当然不仅是因为他使用了现代数学符号,而且,还因为他的影响十分深远,所有后来的数学家都采用了他的文体、符号和公式。并且,欧拉在写作时,想到了并非所有读者都能像他那样,具有惊人的学习数学的能力。欧拉不是以往那类数学家,他们虽然对问题有深邃的见解,但却无法把自己的意思传达给旁人。相反,他深深地喜爱教学。法国数学家孔多塞在谈到欧拉时有一句精辟的话:“他喜欢教诲他的学生,而不是从炫耀中求取满足。”这正是对一个人的高度赞美,因为欧拉如果喜欢炫耀,他的数学才干确实足以令任何人吃惊。

任何人在谈到欧拉的数学时,都会提到他的《全集》,这是一部73卷的文集。这部文集汇编了他一生分别用拉丁文、法文和德文撰著的886卷书和文章。他的著作数量极多,产出速度极快,甚至在他完全失明后也是如此,据说,他的著作直到他谢世后47年才出版完毕。

如前所述,欧拉并未将他的工作局限于纯数学领域。相反,他广泛涉猎声学、工程学、机械学、天文学等许多领域,甚至还写有三卷著作,专门论述光学仪器,如望远镜显微镜。虽然听来令人难以相信,但据估计,如果有人清点18世纪后70几年中的所有数学著作,那么,其中大约有三分之一出自李昂纳德·欧拉之手!

如果你在图书馆里,站在收藏欧拉著作的书架前,一个书架一个书架地看去,其著述洋洋大观,令人惊叹。这成千上万页文字,涉及从变分法、图论,到复变函数和微分方程等数学的所有分支,它们指引了数学各个领域的新方向。实际上,数学的每个分支都有欧拉创立的重要定理。因此,我们可以在几何学中找到欧拉三角,在拓扑学中找到欧拉示性函数,在图论中找到欧拉圆,还不要说使人目不暇接的欧拉常数、欧拉多项式、欧拉积分等等名目了。即使这些还只是故事的一半,因为人们一向记于他人名下的许多数学定理,实际上却是欧拉发现的,并深藏于他卷轶浩繁的著述中。有一则似假还真的趣话说道:

“……法则和定理的命名,常有喧宾夺主的事情,否则,有半数应署上欧拉的名字。”

1783年9月7日,李昂纳德·欧拉溘然长逝。尽管他已双目失明,但直至他逝世前,他一直在进行数学研究。据说,在他生命的最后一天,他还在与他的孙子们一起游戏并讨论有关天王星的最新理论。对于欧拉来说,死神来得非常突然,用孔多塞的话说,“他终止了计算和生命”。欧拉被埋葬在他曾居住过的圣彼得堡,他曾断断续续地在那里度过了许多美好的时光。

要从欧拉庞大的数学体系中找出一两个有代表性的定理是很困难的。我们之所以选定这一定理,是出于以下几个原因。第一,从历史上看,这一定理提出了一个十分重要且引起争论的命题。第二,这个定理是欧拉的早期成就之一,是他于1734年到圣彼得堡的第一年宣布的,这一定理在很大程度上巩固了他数学天才的名望。最后,这一定理不仅证明了欧拉解决前人的难题的才干,而且还证明他有能力将一个个别解法转变为一连串同样深刻和出人意料的解法。没有一个定理能够包容李昂纳德·欧拉的全部天才,但我们即将讨论的这一定理却清楚显示了他的数学才华。

这个问题就是我们在第八章结束时所提到的问题。回想一下,伯努利

……。虽然他们知道这一级数的和一定小于2,但他们却不能确定这个和的精确数值。显然,这一级数的计算不仅难倒了雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟俩,而且也难倒了莱布尼兹,更不要说世界上的其他数学家了。

欧拉显然从他的老师约翰那里听说过这道难题。他曾谈到开始研究这个级数的时候,只是简单地把级数的项越来越多地加起来,希望能够找到级数的和。他这样一直计算到20位(在计算机时代之前,这种计算绝非易事),发现级数的和趋向于数字1.6449。但遗憾的是,这个数字看起来似乎很陌生。欧拉没有被吓倒,他继续研究,最后终于发现了解开这个谜的钥匙。他兴奋地写道,“……完全意想不到,我发现了基于π的……一个绝妙的公式。”

欧拉导出这个公式需要两个工具。其一是初等三角学中的所谓“正弦函数”。对这一重要数学概念(通常写作“sin x”)的充分讨论会使我们离题太远。无论如何,任何接触过三角学或微积分预备知识的人都肯定知道具有无限振荡性质的著名的正弦波。函数f(x)=sinx的图形见图9.1,这一函数是欧拉思想的核心。

我们看到,正弦曲线与x轴相交处的点x,其函数值等于零,

因而,当x=0,±π,±2π,±3π,±4π,等等时,sinx=0。这种使sinx等于零的无穷多的x值反映了正弦函数周期性重复变化的特性。

关于正弦的许多知识,我们都可以从初等三角中学到。但是,如果我们在其中引入微积分的概念,我们就会得出下列公式:

同样,我们没有必要细述这一公式的推导过程,但是,凡是学过微积分泰勒级数展开式的读者都会立刻认出这个公式。这一公式的重要性在于它为欧拉提供了一种将sin x表达为“无限长多项式”的方式。

对sinx的级数展开式,我们需要作一点儿说明。第一,分母中使用了阶乘符号,这种符号在一些数学分支中是很常见的。根据定义,3!表示3×2×1=6;5!=5×4×3×2×1=120,等等。并且,这一sin x表达式还将永远达不到终点,随着x的指数按奇整数序列增大,分母表现为相应的阶乘,而正负号则一正一负交替出现。这就是我们所说将sin x写成一个无限长多项式的意思。这也是欧拉解开他的难题所需要的线索之一。

另一条线索不是出自三角学或微积分,而是出自单代数。由于正弦函数的泰勒级数展开式是一个无穷多项式,欧拉即转而研究普通的有限多项式,并将它推广到无穷多项式。

设P(x)为n次多项式,其n个根为x=a,x=b,x=c,……,及x=d;换言之,P(a)=P(b)=P(c)=……=P(d)=0。我们再设P(0)=1。然后,欧拉知道可以将P(x)分解为如下n个一次项乘积的形式:

不妨考虑一下这一一般公式的合理性。我们可以用直接代入的方法得到

因为第一个因子恰好是1-1=0。同样,

这次是因为第二个因子为1-1=0。正如我们所期望的那样,P(x)的方程式非常清楚地表明,P(a)=P(b)=P(c)=……=P(d)=0。

但是,对P(x)还有另外一个条件:我们要求P(0)=1。幸好,从这里也可以得出我们的公式,因为

具有我们所寻求的性质。

例如,假设P(x)是一个三次多项式,在这里,P(2)=P(3)=P(6)=0,并且,P(0)=1。然后,我们进行因式分解,得到

我们可以很容易地验证这一三次方程符合我们所要求的条件。

欧拉仔细研究了这一方程后认为,同样的法则肯定也适用于“无穷多项式”。他像牛顿一样,也特别相信模式的推广,既然这一模式对有限多项式是正确的,为什么就不能适用于无穷多项式呢?现代数学家都知道,这种做法是十分危险的,而且,将适用于有限多项式的公式推广为适用于无穷多项式的公式,肯定会遇到巨大的困难。这种推广当然要比欧拉想象得更微妙,也需要更多的谨慎。也许是因为欧拉走运;也许是因为他那强有力的数学直觉。无论如何,他的努力没有落空。

远。但欧拉用他超凡的洞察力作为纽带将全部零散的部件组合在一起。

证明 欧拉首先引入函数

欧拉认为他有充分理由把f(x)看成是无穷多项式,并且f(0)=1(从直觉上说,这是显而易见的)。因此,可以利用上述方法,对这一函数方程作因式分解,以确定方程f(x)=0的根。为此,规定x≠0,并得出

过简单的十字相乘方法)简化为解sin x=0。我们在前面已看到,当正弦函数等于0时,x=0,x=±π,x=±2π,等等。当然,我们必须从f(x)=0的解中排除x=0,因为我们已规定f(0)=1。也就是说,f(x)=0的解只是x=±π,x=±2π,x=±3π,……

基于这些考虑,欧拉将f(x)分解因式为:

我们称这一方程为核心方程。这是一个最非凡的方程,因为它使一个无穷等于一个无穷乘积。也就是,最初确定f(x)的无穷级数等于方程右边的无穷乘积。对于欧拉一类数学家来说,这是非常有启发性的。实际上,他现在即将完成他的证明,但许多读者也许还完全茫然不解。

欧拉所做的是设想“乘出”上述方程右边的无穷乘积,然后合并x的同类项。这样,第一项就将是所有1的乘积,当然,等于1。为得到x2项,我们就必须依次用剩余因子中的x2项去乘所有的1,而不是与其它因子相乘。这样,欧拉的“无穷乘法”问题就得到了下列方程:

终于,迷雾开始散去。欧拉只要计算出无穷乘积,并得出两个相等的无穷和,那么,同指数的x项也就当然相等。请注意,两个级数的第一项都是1。因而,两个级数中的x2项,其系数也一定相等。即,

然后,在方程两边同乘以-1,左边即得到3!=6,而右边则提取公因

这样,李昂纳德·欧拉就发现了其他数学家几十年未能发现的答案。

拉最初所推算的数值。我们还注意到,这一无穷和也恰如雅各布·伯努利于1689年所正确推断的那样,的确小于2。

然而,在欧拉之前,人们对于这一级数的和恰好等于π2的六分之一,完全一无所知。这是一个多么古怪的答案。由于数学本身的种种神秘原因,这一级数的和竟然产生了一个关于π的公式。因为π当然是与圆密切相关的,而1、4、9、16这些数字则与正方形密不可分,所以,很难想象这二者会联系在一起。甚至欧拉自己也对他的答案感到吃惊。他的公式过去是,至今依然是所有数学问题中最独特和最令人吃惊的公式之一。这一以极巧妙的方法推导出来的公式,其意外性使欧拉的证明成为第一流的经典定理。

后记

这一定理帮助奠定了李昂纳德·欧拉在整个数学界的崇高声望。这是一个无可争议的成功,许多稍许平庸一些的人肯定会因这些巨大成就而心满意足,不求进取,但欧拉却不然。欧拉数学的特点就是努力探索一切值得探索的问题。至于欧拉这一绝妙的求和公式,不过只是牛刀小试而已。

欧拉注意到,他在核心方程中所计算出的无穷乘积在x≠0的情况下,

或简化为

则是奇数的乘积。实际上,这一方程式早已为英国数学家约翰·沃利斯(1616—1703年)所知,他早在1650年就已用完全不同的方法推导出了这一公式。所以,欧拉并非发现了一个新公式,他只是在对无穷和与无穷乘积的新奇而相当有力的使用过程中再次发现了它。

例如,假设我们要求偶数平方的倒数和:

于是,欧拉也可以毫不费力地计算出所有奇数平方的倒数和,因为

欧拉显然对他的发现感到振奋,他再接再厉,提出了求整数四次方的倒数和问题:

他能解出这道题吗?

欧拉感到他应该回到核心方程上来,但这一次是要确定方程两边x4项的系数。但是,怎样才能从核心方程右边的无穷乘积中找到x4项呢?这并非一个平凡的小问题。在求解这一问题的过程中,欧拉再次得益于他对模式认辨敏锐的感觉和他关于任何有限乘积都可以推广到无限乘积的信念。

为了理解欧拉的推理过程,我们先举两个十分简单但却富有启发性的例子,说明他推导x4项系数的方法。第一个例子是

(1-ax2)(1-bx2)=1-(a+b)x2+abx4

第二个例子是

(1-ax2)(1-bx2)(1-cx2)

=1-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x4-(abc)x6

这些方程可以简单地通过乘出右边方括号中的各项来直接验算。

请注意,模式已经出现——即,将(1-ax2)、(1-bx2)、(1-cx2)等一系列因式相乘后,x4的系数就等于(a+b+c+……)之和的平方与平方和(a2+b2+c2+……)二者的差的一半。如果这一模式对于两个或三个这种因式的乘积是正确的话,那么,为什么不能推广到四个、五个,甚至无穷多个因式的乘积呢?欧拉回到核心方程,热心地推导出:

等。因而,应用我们对x4系数的这一认识,就得到:

现在,欧拉开始同时考虑这一方程两边的x4的系数。方程左边的x4

代数方法进行整理,先提取π的同指数公因数,然后再应用上述伟大定理。所以,方程右边的x4项的系数是

现在,答案就在眼前。欧拉将以上两个x4的系数列为等式,并解出所得方程如下:

所以

最后,通过十字相乘,就得出了欧拉的公式:

欧拉发现了一个真正奇特的结果,他将完全四次方的倒数与π的四次方联系在了一起。然后,他像一个孩子发现了新玩具一样,兴高采烈地应用他非凡的方法,去求更奇特级数的和,如:

他不断对偶次幂级数进行推算,并得出了

最后,甚至连欧拉自己也对此感到厌倦了。无须赘言,历史上没有一个人曾踏上这一数学之旅。从实践的观点来看,无论事情有多么琐碎,但它们确实是人类知识的一大进步,是对有关整数乘方倒数与最重要常数π之间关系的发现,而这些关系,以前人们从未想到过。

至此,人们会立即想到一个问题:整数次幂的倒数和又将如何呢?例如,我们能否计算出无穷级数

对此,甚至欧拉也缄默不语,的确,过去200年的数学研究对这些奇次幂级数的认识进展甚少。但是,我们可以很容易地推测,整数奇次幂的

能够肯定这一推测是否正确。

今天,我们认识到,欧拉关于无穷级数的推理并不十分严格。他相信有限级数所产生的模式和公式可以自动推广到无穷级数,这与其说是科学,不如说是一种信念。其后的数学家提供了大量的例证,证明了欧拉的这种推广是十分愚蠢的。总之,欧拉未能为他的推理提供充分的逻辑依据。然而,这些批评丝毫无损于他的声望。即使他推论无穷级数的方法还十分幼稚,但他所有这些奇妙的级数和都已通过了今天高标准的严密逻辑证明。

这些成就在欧拉的70余卷著作中只占了几页。下一章,我们将讨论欧拉在一个完全不同的数学分支——数论领域中的辉煌贡献。