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费马,法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店,拥有相当丰厚的产业,使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。

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费马的父亲由于富有和经营有道,颇受人们尊敬,并因此获得了地方事务顾问的头衔,但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格,出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔,受到了良好的启蒙教育,培养了他广泛的兴趣和爱好,对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时,费马才进入博蒙·德·洛马涅公学,毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

17世纪的法国,男子最讲究的职业是当律师,因此,男子学习法律成为时髦,也使人敬羡。有趣的是,法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。1523年,佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关,公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生,便应时代的需要而一发不可收拾,且弥留今日。

鬻卖官职,一方面迎合了那些富有者,使其获得官位从而提高社会地位,另一方面也使政府的财政状况得以好转。因此到了17世纪,除宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日,法院的书记官、公证人、传达人等职务,仍没有完全摆脱买卖性质。法国的买官特产,使许多中产阶级从中受惠,费马也不例外。费马尚没有大学毕业,便在博蒙·德·洛马涅买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后,他便很容易地当上了图卢兹议会的议员,时值1631年。

尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职,而且逐年得到提升,但是据记载,费马并没有什么政绩,应付官场的能力也极普通,更谈不上什么领导才能。不过,费马并未因此而中断升迁。在费马任了七年地方议会议员之后,升任了调查参议员,这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。

1642年,有一位权威人士叫勃里斯亚斯,他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭,这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年,费马升任议会首席发言人,以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道,不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明,赢得了人们的信任和称赞。

费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列,费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马,如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。

费马生有三女二男,除了大女儿克拉莱出嫁之外,四个子女都使费马感到体面。两个女儿当上了牧师,次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特·萨摩尔,他不仅继承了费马的公职,在1665年当上了律师,而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著,很难说费马能对数学产生如此重大的影响,因为大部分论文都是在费马死后,由其长子负责发表的。从这个意义上说,萨摩尔也称得上是费马事业上的继承人。

对费马来说,真正的事业是学术,尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语,而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利,使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些,可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上,费马不仅可以在数学王国里自由驰骋,而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋,与他的博学多才多少也是有关系的。

费马生性内向,谦抑好静,不善推销自己,不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著,连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章,也总是隐姓埋名。《数学论集》还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要,即使在l7世纪,这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表,得不到传播和发展,并不完全是个人的名誉损失,而是影响了那个时代数学前进的步伐。

费马一生身体健康,只是在1652年的瘟疫中险些丧命。1665年元旦一过,费马开始感到身体有变,因此于1月l0日停职。第三天,费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯公墓,后来改葬在图卢兹的家族墓地中。

费马一生从未受过专门的数学教育,数学研究也不过是业余之爱好。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌:他是解析几何的发明者之一;对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿莱布尼茨概率论的主要创始人,以及独承17世纪数论天地的人。此外,费马对物理学也有重要贡献。一代数学大才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。

17世纪伊始,就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上,这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代。几何学首先成了这一时代最引入注目的引玉之明珠,由于几何学的新方法—代数方法在几何学上的应用,直接导致了解析几何的诞生;射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域;由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学,使几何学产生了新的研究方向,并最终促进了微积分的发明。几何学的重新崛起是与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的,费马就是其中的一位。

对解析几何的贡献

费马独立于[[笛卡儿|笛卡儿]]发现了解析几何的基本原理。

1629年以前,费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充,对古希腊几何学,尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理,对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。

费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信,对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事,因而1679年以前,很少有人了解到费马的工作,而现在看来,费马的工作却是开创性的。

《平面与立体轨迹引论》》中道出了费马的发现。他指出:“两个未知量决定的—个方程式,对应着一条轨迹,可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。

笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的,而费马则是从方程出发来研究轨迹的,这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。

在1643年的一封信里,费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面,指出:含有三个未知量的方程表示一个曲面,并对此做了进一步地研究。

对微积分的贡献

16、17世纪,微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知,[[牛顿|牛顿]]和[[莱布尼茨|莱布尼茨]]是微积分的缔造者,并且在其之前,至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中,费马仍然值得一提,主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示,以致于在微积分领域,在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者,也会得到数学界的认可。

曲线的切线问题和[[函数|函数]]的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老,最早可追溯到古希腊时期。[[阿基米德|阿基米德]]为求出一条曲线所包任意图形的面积,曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙,后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时,遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题,无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善,但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。

费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法,对微积分做出了重大贡献。

对概率论的贡献

早在古希腊时期,偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论,但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期,意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会,在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪,法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》,建立了通信联系,从而建立了概率学的基础。

费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2=16种,除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外,其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词,但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15/16,即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足,例如纸牌游戏,掷银子和从罐子里模球。其实,这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础,尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。

费马和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的:在一个被假定有同等技巧的博弈者之间,在一个中断的博弈中,如何确定赌金的划分,已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论:一个博弈者A需要4分获胜,博弈者B需要3分获胜的情况,这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。

一般概率空间的概念,是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看,有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时,它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。

对数论的贡献

17世纪初,欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书,他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内,从而开始了数论这门数学分支。飞马定理 成长吧啊 czbaa

费马在数论领域中的成果是巨大的,其中主要有:

(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。

(2)形如4n+1的素数能够,而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。

(3)没有一个形如4n+3的素数,能表示为两个平方数之和。

(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边;4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边;类似地,4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。

(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。费马 成长吧啊 czbaa

(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和;它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和;5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和,以此类推,直至无穷。

 

对光学的贡献

费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理,也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期,欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后,这个定律逐渐被扩展成自然法则,并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来,并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。

费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时,其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是[[欧拉|欧拉]],竞用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了[[拉格朗日|拉格朗日]]的成就,给出了最小作用原理的具体形式:对一个质点而言,其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值;即对该质点所取的实际路径来说,必须是极大或极小。

 

费马

北京航空航天大学 李心灿 王武保

费马,P.de(Fermat,Pierre de)1601年8月20日生于法国南部图卢兹附近的博蒙-德洛马涅;1665年1月12日卒于法国卡斯特尔.数学.

费马出身于皮革商人家庭,他的祖父、父亲、叔父都从事商业.他的父亲多米尼克(Dominique Fermat)还是当地第二执政官,经办了一个生意兴隆的皮革商行.他的母亲克拉丽·德·朗(Claire de Long)曾在长袍贵族议会中任职.费马于1631年6月1日和他母亲的堂妹路易丝·德·朗(Louise de Long)结婚,生育了两个儿子和三个女儿.

费马的童年和少年时代是在波蒙特渡过的,在家乡上完中学后,可能进入了图卢兹大学.17世纪20年代的后期他曾在波尔多(Bordeaux)度过了相当长的一段时间,就在这一时期他对数学发生了兴趣,深入地研究过F.韦达(Viète)的著作.费马在1631年5月1日获奥尔良(Orleans)大学民法学士学位.

费马以律师为职业,曾任图卢兹议会的议员,并享有长袍贵族的特权.他不但有丰富的法律知识,而且是一个博览群籍、识多见广的学者.虽然数学只不过是他的业余爱好,但他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语,从而使他不仅能精心研究韦达的著作,而且能深入钻研那些古典的数学著作.例如,阿基米德(Archimedes)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)、丢番图(Diophantus)、帕普斯(Pappus)等人的作品,在下述几个数学分支中做出了极为重要的贡献:他在研究几何的过程中发现了解析几何的原理;他是微积分的先驱者;他和B.帕斯卡(Pascal)共同开创了概率论的早期研究;他是近代数论的开拓者.

他和R,笛卡儿(Descartes)

分享创立解析几何的殊荣

费马对于曲线的探讨,是从研究古希腊的几何学家,特别是研究阿波罗尼奥斯的成果开始的.他力图把阿波罗尼奥斯关于轨迹的某些久已失传的证明补充起来,为此他写了篇幅不大的《平面和立体的轨迹引论》(Ad locos planos et solidos)一书.这本著作可能在1629年左右编成,但直到1679年才出版问世.他说他试图开展关于轨迹的一般性研究,这种研究是希腊人没有做到的.

成长吧啊

从费马的《平面和立体的轨迹引论》和他在1636年与G.P.罗贝瓦尔(Roberval)等人的通信中,可以看出他在笛卡儿发表《几何学》(La géome-trie,1637)之前,就已发现了解析几何的基本原理,发现了用代数方程表示曲线的方法:他取一条水平的直线作为轴,并在此直线上确定一个点作为原点.他考虑任意曲线和它上面的一般点M(图1).点M的位置用两个字母A,E来确定,A表示从原点O沿轴线

费马所用的坐标实际上是我们所说的倾斜坐标,但是y轴没有明显地出现,而且不用负数.他的A,E就是我们的x,y.费马清楚地叙述了他的一般原理:“只要在最后的方程里出现了两个未知量,我们就得到一条轨迹,这两个量之一,其末端就绘出一条直线或曲线.”图中对于不同位置的E,其末端M,M1,M2,…就把这条“线”描绘出来.费马的未知量A和E,实际上是变数,或者可以说,联系A和E的方程是不确定的.在这里,费马采用韦达的办法,让一个字母代表一类的数,然后写出联系A和E的各种方程,并指明它们所描绘的曲线.例如,他写出“D in A aequetur B in E”(用我们的记号就是Dx=By),并指明这代表一条直线.他还给出了(以下用我们今天的符号):d(a-x)=by代表一条直线;a2-x2=y2是圆的方程;a2-x2=ky2是椭圆方程;a2+x2=ky2是双曲线方程;xy=a是双曲线方程,x2=ay是抛物线方程.应该指出,因费马不用负坐标,他的方程不能像他所说的代表整个曲线,但他确实领会到坐标轴可以平移或旋转,因为他给出一些较复杂的二次方程,并给出它们的简化形式.例如,他曾指出d2+xy=bx+sy是双曲线.费马既把圆锥曲线看成圆锥的平截线,也看成为平面轨迹和二次方程的图象.他在《求最大值和最小值的方法》(Methodus addisquirendam maximam et minimam,1637)中引进了曲线y= xn和y=x-n.他在1643年的一封信里,还简短地描述了他的三维解析几何的思想.他第一个把三元方程应用于空间解析几何.他还谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面,并指出作为平面曲线论的顶峰,应该研究曲面上的曲线.“这个理论,有可能用一个普遍的方法来处理.我有空闲时将说明这个方法.”尽管费马对三维解析几何未能给出一个几何框架,但他却为它提供了一个代数基础.在1650年的一篇文章“新型二阶或高阶方程分析中的指标问题”(Novus secundarum et ulterioris ordinis radicumin analyticis usue)里,他指出,一个自变量的方程决定点的作图,二个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图,三个自变量的方程决定空间中曲面的轧迹的作图.

当笛卡儿的《几何学》出版之际,费马曾对书中所提出的曲线分类理论提出异议,并指出书中不应该删去极大值和极小值,曲线的切线,以及立体轨迹的作图法.他认为这些内容是所有几何学家值得重视的.为此,他们曾进行过激烈的争论.但冷静下来之后,态度便逐渐缓和.费马在1660年的一篇文章里,既开诚布公地指出笛卡儿《几何学》中的一个错误,又诚挚地说出,他很佩服笛卡儿的天才.

费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的,表达形式也迥然不同:费马主要是继承了希腊人的思想.尽管他的工作比较全面系统,正确地叙述了解析几何的基本原理,但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作.因此古典色彩很浓,并且沿用了韦达以字母代表数类的思想,因此需要读者对韦达的代数知识了解甚多.而笛卡儿则是从批判希腊的传统出发,断然同这种传统决裂,走的是革新古代方法的道路.他的方法更具一般性,也适用于更广泛的超越曲线.费马是从方程出发来研究它的轨迹;而笛卡儿则从轨迹开始建立它的方程.这正是解析几何中一个问题的正反两种提法.但各有侧重,前者是从代数到几何,而后者是从几何到代数.从历史的发展看,后者更具有突破性. 

他是微积分学的先驱者之一

关于微积分方法的创立,I.牛顿(Newton)曾经说过:“我从费马的切线作法中得到了这个方法的启示,我推广了它,把它直接地并且反过来应用于抽象的方程,”

对光学的研究特别是透镜的设计,促使费马探求曲线的切线.他在1629年就找到了求切线的一种方法,但迟后八年发表在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中,他的方法要点如下:

设PT是曲线在点P处的切线(图2),TQ的长叫次切线.费马的方案是求出PQ的长度,从而知道T的位置,最后就能作出TP.

设QQ1是TQ的增量,长度为E.因为△TQP∽△PRT1,所以

TQ∶PQ=E∶T1R

但是,费马说,T1R和P1R的长度差不多;因此

TQ∶PQ=E∶(P1Q1-QP),

用现在的符号,若令PQ为f(x),则有

TQ∶f(x)=E∶[f(x+E)-f(x)].

因此,

费马对上式的处理是:用E除右端分式的分子和分母,然后令E=0(他说是去掉E项),就得到TQ.这就是费马通过次切线TQ求表达式

费马把韦达的代数理论应用到帕普斯《数学论题》(Mathema-tical collection)中的一个问题,便得到了求最大值最小值方法.他在《求最大值和最小值的方法》中曾用如下的一个例子加以说明:已知一条直线(段),要求出它上面的一点,使被这点分成的两部分线段组成的矩形最大.他把整个线段叫做B,并设它的一部分为A.那么矩形的面积就是AB-A2.然后他用A+E代替A,这时另外一部分就是B-(A+E),矩形的面积就成为(A+E)(B-A-E).他把这两个面积等同起来,因为他认为,当取最大值时,这两个函数值——即两个面积应该是相等的.所以

AB+EB-A2-2AE-E2=AB-A2

两边消去相同的项并用E除,便得到

B=2A+E.

然后令E=0(他说去掉E项),得到B=2A.因此这矩形是正方形.

费马认为这个方法有普遍的适用性.他说:如果A是自变量,并且如果A增加到A+E,则当E变成无限小,且当函数经过一个极大值(或极小值)时,函数的前后两个值将是相等的.把这两个值等同起来;用E除方程,然后使E消失,就可以从所得的方程,确定使函数取最大值或最小值的A值.这个方法实质上是他用来求曲线切线的方法.但是求切线时是基于两个三角形相似;而这里是基于两个函数值相等.

遗憾的是,费马对于他的方法从来未从逻辑上作过清楚和全面的解释,因此对于他究竟是怎样考虑这个问题的,一些数学史专家曾产生过争论.费马没有认识到有必要去说明先引进非零E,然后用E通除之后,令E=0的合理性.

但从这里我们可以看出,费马这种求极值的方法已非常接近微分学的基本观念了.如果用现代的记号他的规则可以表述如下:

欲求f(x)(费马先取个别的整有理函数)的极值.先把表达式 零,再求出方程的根,便是可能使f(x)具有极值的极值点.他的方法给出了(可微函数的)极值点x所能满足的必要条件f′(x)=0.费马还有区分x为极大值点和极小值点的准则,即现在所谓的“二阶导数准则”(f″(x)<0有极大,f″(x)>0有极小),尽管他没能系统地去研究拐点(f″(x)=0),但也得到了求拐点的一种法则.

费马还用类似的方法,研究过求抛物体截段重心的问题.他的方法要点如下:设截段的重心O和顶点的距离为a个单位.将截段的高度h减小E,则重心的位置改变.费马由一系列的引理,知道两个截段的重心与顶点的距离与其高成正比,而两截段体积与其高的平方成正比例,通过对O取瞬,他能用这些事实列出包含a,h和E的“虚拟等式”.根 微积分史上的重要性,在于它第一次采用相当于今天微分学中的方法,而不是像积分学中求和的方法,求出了重心.

费马早在1636年之前在计算抛物线y=xn(n为正整数)的面积时,以等距离的纵标把面积分成窄长条,然后依据不等式

+(m-1)n 

大约在1644年,他在横坐标做成几何级数的那些点上引出纵坐标,而把他自己的结果推广到n为分数与负数的情形;同时那些近似于ydx的长条的面积组成容易求和的几何级数.经过求极限即得费马的结果,这些

这样就指出了它与对数性质的关系.

费马还得出了一个求半立方抛物线长度的方法.这个方法也是他的一般方法的典型说明,展示出在他各个方面工作中的内在联系,对曲线上横坐标OQ=a,纵坐标PQ=b的任一点,次切线TQ=c可以用他的切线

纵坐标P1Q1,则线段PP1可用a和E来表达.对

但在切线上,而且也在曲线上,所以曲线的长度可以视为PP1的线段的和.而这些线段的和又可以作为在抛物线

之下的面积.由于这个面积已能求出,曲线的长度就可以求得.

费马还用自己的方法处理了许多几何问题,例如,求球的内接圆锥的最大体积、球的内接圆柱的最大面积等等.

奇怪的是,费马在应用他的方法来确定切线、求函数的极大值极小值以及求面积、求曲线长度等问题时,能在如此广泛的各种问题上从几何和分析的角度应用无穷小量,而竟然没有看到这两类问题之间的基本联系.其实,只要费马对他的抛物线和双曲线求切线和求面积的结果再加仔细地考察和思考,是有可能发现微积分的基本定理的.也就是说费马差一点就成为微积分的真正发明者.以致J.L.拉格朗日(Lagrange)说:“我们可以认为费马是这种新计算的第一个发明人.”P.S.拉普拉斯(Laplace)和J.傅里叶(Fourier)也有类似的评论.但S.D.泊松(Poisson)持有异议,认为费马还没达到如此高的境界.因为费马不但没有认识到求积运算是求切线运算的逆运算,并且费马终究未曾指出微分学的基本概念——导数与微分;也未曾建立起微分学的算法.他之所以没有作进一步的考虑,可能是由于他以为自己的工作只是求几何问题的解,而不是统一的很有意义的一种推理过程.在他看来,他的求最大值、最小值方法,切线方法以及求面积方法不过是解决这些具体问题的特有方法,而不是新的分析学.但是他的思想和方法对后来微积分学的建立奠定了重要的基础.

他和帕斯卡共同对概率论进行了最早的科学探索

虽然16世纪概率论已有了某些萌芽,例如H.卡尔达诺(Cardano)曾经对机会对策中产生的一些问题感到过兴趣,但首先试图把这些方法归纳和抽象成一种法则的,还应归功于费马和帕斯卡.而激励他们俩人认真对待这项研究的起因,却来自一个赌博者的请求.

1654年法国骑士C.梅累(Méré)向帕斯卡提出了一个使他苦恼很久的问题:“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢s局就算赢了,现在一个人赢a(a<s)局,另一个人赢b(b<s)局,赌博中止,问赌本应怎样分法才算合理?”这个问题后来称为“赌点问题”.当帕斯卡接到这个问题后,立刻把它转告了费马,他们俩人都对这个问题得出了正确的答案,但所用的方法不同.关于概率论的研究就是这样开始的.正如对概率论做出了卓越贡献的法国数学家泊松后来所说:“由一位广有交游的人向一位严肃的冉森派教徒所提出的一个关于机会游戏的问题乃是概率演算的起源.”这个广有交游的人就是梅累,那位严肃的冉森派教徒就是帕斯卡.

当C.惠更斯(Huygens)到巴黎的时候,听说费马和帕斯卡在研究这个问题,他也进行了研究,并写成了《论赌博中的计算》(De Ratiociniis in Ludo Aleoe,1657)一书.从此概率论的研究引起了更多数学家的关注,特别是为了研究在实践中碰到的大量随机现象的统计规律,就进一步推动了这一数学分支的发展.

他开辟了近代数论

费马对解析几何、微积分和概率论的开创都做出了重要的贡献.但最能显示出他的才华且对后人影响最大的,还是他在数论方面的工作.在他生命的最后15年里,他几乎把全副精力放到了对数论的研究上.

在费马以前,希腊人也曾研究过数的性质,我们可以从欧几里得(Euclid)、尼科马霍斯(Nicomachus)、赛翁(Theon)、丢番图等人的著作中找到一些关于数的性质的论述,但是很不系统.这门学科也曾强烈地吸引过印度人,但是直到费马仔细阅读了丢番图的译本而把注意力转移到这方面之前,数论始终不曾有过重大的进展.费马认为数论被忽视了.他曾抱怨说几乎没有什么人提出或懂得算术问题,并说:“这是不是由于迄今为止,人们都用几何观点而不用算术观点来处理算术的缘故?”他认为甚至连丢番图也颇受几何观点的束缚.他相信算术有它自己的特殊园地:整数论.

费马对数论的研究是从阅读丢番图的著作《算术》(Arithme-tica)一书开始的,这本书曾被文艺复兴时代的数学家译成许多译本,他仔细阅读了由M.巴歇(Bachet)1621年校订的法文译本.费马对数论的大部分贡献都批注在这本书页的边缘和空白处以及写给朋友的一些信件中.他主要研究了素数和整数的可除性问题并给出了从单个的基本解得到一般形式的解的一些论断.

费马在1640年6月致M.梅森(Mersenne)的一封信中提出了下述三个定理:

1.若n是合成数,则2n-1是合成数.

2.若n是素数,则2n-2可被2n除尽.

3.若n是素数,则除了2kn+1这种形式的数之外,2n-1不能被其他素数除尽.

费马宣称,这三个定理是他关于数的性质的研究基础.

费马对数论还提出了下列一些重要定理:

4.费马断言没有一个形如4n+3的素数能表达为两个平方数之和.

5.费马在他的丢番图书页上的侧记中以及在写给梅森的一封信中,推广了著名的直角三角形的3,4,5关系,指出了如下一些定理:形如4n+1的一个素数能够而且只能作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边;(4n+1)的平方是两个而且只有两个这种直角三角形的斜边;它的立方是三个而且只有三个这种直角三角形的斜边;它的四次方是四个而且只有四个这种直角三角形的斜边,如此等等,乃至无穷.

他在给梅森的信中还说,形如4n+1的素数和它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和;它的三次方和四次方都能以两种方式表达为两个平方数之和;它的五次方和六次方都能以三种方式表达为两个平方数之和;如此等等,乃至无穷.他在信中接着说:若等于两个平方数之和的一个素数乘以另一个也是这样的素数,则其乘积将能以两种方式表达为两个平方数之和.若第一个素数乘以第二个素数的平方,则乘积将能以三种方式表达为两个平方数之和;若乘以第二个素数的立方,则乘积将能以四种方式表达为两个平方数之和;如此等等,乃至无穷.

6.费马给出了关于将素数表达为x2+2y2,x2+3y2,x2+5y2,x2-2y2以及其他这种形式的许多定理,它们都是关于素数表达为平方和的推广,并指出一个奇素数能且只能以一种方式表为两个平方数之差.

7.费马在1640年10月18日写给B.F.德贝西(de Bessy)的一封信中给出了下述定理:若p是个素数而a与p互素,则ap-a能为p整除.(后人称这个定理为费马小定理.)

8.费马也研究过多边形数,他在那本丢番图的书的空白处写下了这样一个定理:每个正整数或者本身是一个三角形数,或者是两个或三个三角形数之和;每个正整数或者本身是个正方形数,或者是2,3或4个正方形数之和;每个正整数或者本身是个五边形数,或者是2,3,4或5个五边形数之和:以及对较高的多边形数的类似关系.

9.费马在1636年重新发现了Q.泰比特(Tabitibn)第一个提出的法则,给出了第二对亲和数17,926及18,416(第一对亲和数220及284是毕达哥拉斯(Pythagoras)给出的).

10.费马重新发现了求解x2-Ay2=1的问题,其中A是整数但非平方数.他在1657年2月写给德贝西的一封信中提出一个定理:x2-Ay2=1在A是正数而非完全平方时有无穷多个解.费马还指出:对于给定的A和B,x2-Ay2=B在什么情况下可解,并能把它解出来.

费马对上述这些定理都没有给出证明,有的也只是略述大意,补充这些定理的证明曾强烈的吸引着18世纪许多数学家.

费马在数论中还提出过其他一些定理.他提出的所有定理,除了下述两个定理以外,都已被后来的人证明是正确的,这两个定理是:

(i)费马1640年在一封信中说,形如22n+1(n=0,1,2,…)的数都是素数,他自己验证了当n=0,1,2,3,4时,22n+1确实都是素数,但他承认他还不能给出普遍的证明.后来L.欧拉(Euler)证明了当n=5时,即22+1不是素数.而且,直到今天再没有发现其他22n+1型的素数.从而说明费马这个猜想是错误的.

(ii)费马于1637年左右,他在巴歇校订的丢番图的《算术》第二卷第八命题——“将一个平方数分为两个平方数”的旁边写道:“相反,要将一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂,一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂,都是不可能的,对此,我确信已发现一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小写不下.”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后定理.这个定理可用现代的术语简述如下:

不可能有满足

xn+yn=zn,xyz≠0,n>2的整数x,y,z,n存在.

费马逝世后,人们一直未找到他对这个定理的证明,于是激起了许多数学家试图证明这个定理.例如:欧拉、A.M.勒让德(Legendrd)、 C.F.高斯(Gauss)、N.H.阿贝尔(Abel)、P.G.L.狄利克雷(Dirichlet)、G.拉梅(Lame)、A.L.柯西(Cauchy)、E.E.库默尔(Kummer)等著名数学家都试证过,并得到了部分结果,但都没有得到普遍的证明.为此,布鲁塞尔科学院、巴黎科学院曾设奖金悬赏征集这个问题的证明,也没得到结果.1908年,数学家F.沃尔夫斯克尔(Wolfskehl)在格丁根皇家科学会悬赏十万马克,赠给最先证明这个定理的人.尽管许多迹象都说明费马最后定理可能是成立的,但至今依然没有得到完全的证明.因此,费马是否真对这一问题作出正确的证明,也许将永远是个谜,不过从他提出的许多定理的绝大多数都被后来的人证明是正确的这一事实来看,费马确实具有一种直观的天才和非凡的洞察力.

1879年,在莱顿图书馆惠更斯的手稿中发现一篇论文,其中介绍了由费马首创和应用的“无穷下推法”(the method of infinitedescent).在1659年,费马曾将这个方法的梗概写信告诉过他的朋友P.卡尔卡维(Carcavi).为了描述这个方法,我们先来考察费马在1640年12月25日给梅森的信中所提出的一个定理:每一个形如4n+1的素数,能唯一的分解为两个平方数之和.例如17=42+1,29=52+22.应用这个方法时,先假设形如4n+1的素数并不具有所述性质,我们要证明形如4n+1的一个较小素数也不具有所述性质.由于n是任意的,所以还必需有一个更小的,这样通过n的整数值往下递推,就必定能推到n=1,从而推到素数4×1+1=5也不该具有所述性质.但素数5是能唯一分解为两个平方数的和的,这就和假定相矛盾,因而每一个形如4n+1的素数都能唯一分解为两个平方数之和.费马还说他用“无穷下推法”证明了下述定理:边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数.这个概括的证明是他唯一详细写出的证明,而且是作为x4+y4=z4不可能有整数解的一个推论得出的,他还声称他用“无穷下推法”证明了上述命题8和命题10.

但后人一直未找到他是怎样具体用“无穷下推法”证明的细节,不过他提出的上述一些命题却被欧拉、拉格朗日、柯西等用他首创的“无穷下推法”或其他方法证明确实是正确的.

费马在数论中提出的命题,都以极大的魅力吸引了许多后来的数学家去研究它们,从而推动了19世纪数论理论的发展和数论研究方法的产生.例如,库默尔在企图证明费马最后定理时,就创立了理想数论.另外费马的成果对现代代数学基本概念的明确阐述也起到了推动作用.

他对光学做出了重要贡献

费马同他那个世纪的其他数学家一样,他研究过许多科学问题,特别对光学做出过重要贡献.

费马在1637年看到笛卡儿的《折光》(La dioptrique)中给出的折射定律

其中v1是光线在第一介质中的速度,v2是光进入第二介质的速度(图4).他对这个定律及其证明方法都持怀疑和反对的态度,并曾引起他们俩人之间长达十年之久的争论.但后来费马发现反射时光线取需时最少的路径,而且相信自然确实是按简单而又经济的方式行动的,在1657年和1662年的信件中,他确认了他的最小时间原理——光线永远取花时间最少的路径行进.当他在1661年发现他能够从他的原理导出光的折射定律时,他不但解除了对笛卡儿的折射定律的怀疑,而且更加确信自己的原理的正确性.

费马的原理现在数学上有几种等价陈述形式.按照拆射定律

常用n表示v1对v2之比,叫做第二种介质相对于第一种介质的折射率;如果第一种介质是真空,则n叫做非真空介质的绝对折射率,如果c表

的速度.如果介质的特点是逐点变化的,则n和v都是x,y和z的函数.因此光线沿着曲线x(σ),y(σ),z(σ)从点P1行进到点P2所需的时间为

其中σ1是σ在P1的值而σ2是σ在P2的值.因此费马原理认为:光线从P1行进到P2所取的实际路径是使J取极小的曲线.

费马发现的这个最小时间原理及其与光的折射现象的关系,是走向光学统一理论的最早一步.

费马性情谦抑,好静成癖.他对数学的许多研究成果,往往以没有给出证明的断言写在他阅读过的书籍的边缘或空白处,或者写在给朋友的一片信笺中,也有一些是散放在旧纸堆里的.他从未想出版,而且固执地拒绝编辑他的文章或以他的名字发表.他曾多次阻止过别人把他的结果付印.他对已完成的工作不再感兴趣,所以常常很随便地将自己的文章送给朋友而不留底稿.费马在生前也发表过几篇文章,但都是在他要求匿名的条件下发表的,并且要求勿需做详细明瞭的解释.他的匿名以及拒绝发表不但使他当时研究的成就无缘扬名于世,并且使他暮年脱离了研究的主流.直到他去世后,后人[其中包括他的大儿子克莱门特·塞缪尔(Clément Samule)]才把他的成果汇集成书,共两卷,先后于1670年和1679年在图卢兹出版.第一卷有丢番图的算术,带有校订和注解;第二卷包括抛物形求面积法,极大极小及重心的论述和各类问题的解答.还有球切面、曲线求长的讨论.另外就是他和笛卡儿、帕斯卡、罗伯瓦、梅森、惠更斯等人的通信录.这本书后来罕见于世,直到1853年E.布拉兴(Brassinne)重新加以注释,才在巴黎出版.18世纪,费马还不太有名,但进入19世纪中叶,由于对数论的重新研究,数学家和数学史专家对费马及其著作都产生了浓厚的兴趣,世人也争先发表和研究费马的著作,其中尤以查尔斯·亨利(Cherles Henry)和保罗·坦纳(Paul Tannery)的四卷论文集最为全面.从这四卷文集中可以清晰而具体地看出费马对数学和光学所做出的广泛而重要的贡献.

(本词条承蒙蒋正新同志的认真修饰和润色,并承蒙袁向东同志提出了不少宝贵意见,特此一并致谢.)