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费马点

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费马

在几何学中,费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形 `△ABC` 的话,从这个三角形的费马点 `P` 到三角形的三个顶点 `A、B、C` 的距离之和费马点

`PA+PB+PC`

比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。

源起:费马的问题

1638年,勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年,费马写信向埃万杰利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因。费马的问题是这样的:

平面上有三个不在同一条直线上的点 `A, B, C`,对平面上的另一个点 `P`,考虑点 `P` 到原来的三个点的距离之和:`PA + PB + PC`。是否有这样一个点P0,使得它到点A, B, C的距离之和P0A + P0B + P0C比任何其它的 `PA + PB + PC` 都要小?

这个问题首先被托里拆利解决,但他生前并没有发表。托里拆利的学生温琴佐·维维亚尼在1659年将他的遗作整理发表,其中包括了费马点问题的证明。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。

费马-托里拆利点

托里拆利的解法中对这个点的描述是:对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边,向外作正三角形,然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点,而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。

1647年,博纳文图拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》(Exerciones Geometricae)中也探讨了这个问题。他发现,将作正三角形时作出的三个点与对面的顶点连接,可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点,而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。

视频:古代将军与费马点

作法及证明

下面是三角形的费马点的作法:

  1. 当有一个内角不小于`120°`时,费马点为此角对应顶点。
  2. 当三角形的内角都小于`120°`时:
  • 以三角形的每一边为底边,向外做三个正三角形 `△ABC',△BCA',△CAB'`。
  • 连接 `CC'、BB'、AA'`,则三条线段的交点就是所求的点。

证明;

1.当有一个内角大于或等于 `120°` 时.

费马点

对三角形内任一点 `P`,

延长 `BA` 至 `C'` 使得 `AC=AC'`,做 `∠C'AP'=∠CAP`,并且使得 `AP'=AP`, `PC'=PC`,(说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转)

则 `△APC ≌ △AP'C'`,

`∵∠BAC ≥ 120°`,

`∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°`,

`∴等腰三角形PAP'中,AP ≥ PP'`,

`∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC`,

`∴点A即费马点`.

2.当三个内角都小于 `120°`时.

费马点

在 `△ABC` 内做一点 `P`,使得 `∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°`,过 `A、B、C` 分别作 `PA、PB、PC` 的垂线,交于 `D、E、F` 三点,如图,再作任一异于P的点 `P'`,连结 `P'A、P'B、P'C`,过 `P'`作 `P'H ⊥ EF` 于 `H`

易证明 `∠D =∠E =∠F = 60°`,即 `△DEF` 为正三角形,设边长为 `d`,面积为 `S`,

则有 `2S = d(PA + PB + PC)`

`∵P'H ≤ P'A`

所以2S△EP'F ≤ P'A ·d  ①

同理有

`2S△DP'F ≤ P'B·d ` ②

`2S△EP'D ≤ P'C·d ` ③

① + ② + ③,得

`2(S△EP'F + S△DP'F + S△EP'D) ≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d`

`∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C)`

又 `∵2S = d(PA + PB + PC)`

`∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C)`
即 `PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C`

当且仅当 `P` 与 `P'` 重合时,等号成立

`∴点P即费马点`.