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辅助角公式

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正弦形式辅助角公式:
$$a\sin \alpha+b\cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\psi)$$其中 `\tan\psi=\frac{b}{a}`.


证明: 

∵ `a\sin \alpha+b\cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \alpha+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \alpha\right)` ,

其中 `\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1`,

∴ 可以设 `\cos \psi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}`, `\sin \psi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}`,

则, `原式左边=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\psi\sin\alpha+\sin\psi\cos\alpha)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\psi)=右边` , 得证.