你在这里

重复元素的全排列

主标签

在 `m` 个元素中,有 `{n_1}` 个元素相同,又另有 `{n_2}` 个元素相同,...,一直到另有 `{n_r}` 个元素相同,且 $${n_1} + {n_2} + ... + {n_r} = m, $$这 `m` 个元素的全排列叫做不尽相异的 `m` 各元素的全排列.易证不尽相异的 `m` 个元素的全排列计算公式为$$X = \dfrac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}$$.

事实上,若 `m` 个元素互不相同,则全排列数有 `m!` ,但其中有 `{n_i}` 个元素相同,它们之间任意交换顺序(共有 `{n_i}!` 种交换顺序的方法)( `i = 1,2,...,r` ),得到的是同一排列,故不同的排列个数位 `\frac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}` .

也可以这样考虑:设 `{n_1}` 个相同元素为 `{a_1}` , `{n_2}` 个相同元素为 `{a_2}` ,..., `{n_r}` 个相同元素为 `{a_r}` ,先从 `m` 个位置中选出 `{n_1}` 个位置放置 `{a_1}` ,

有 `C_m^{{n_1}}` 种方法;再从剩下 `m - {n_1}` 个位置中选出 `{n_2}` 个位置放置 `{a_2}` ,

有 `C_{m - {n_1}}^{{n_2}}` 种方法;...故共有 `C_m^{{n_1}} \cdot C_{m - {n_1}}^{{n_2}}...C_{{n_r}}^{{n^r}}` .

由此可知,$$C_m^{{n_1}} \cdot C_{m - {n_1}}^{{n_2}}...C_{{n_r}}^{{n^r}} = \frac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}.$$