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25.普遍化

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  • 25.普遍化

普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合;或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集合。

(1)如果我们碰巧遇到下列和数

1+8+27+64=100

我们可以看出,它可表示成这样的奇特的形式

`1^3+2^3+3^3+4^3=10^2`

现在,我们自然要问:是否连续自然数的立方和

`1^3+2^3+……+n^3` 都是一个自然数的平方?我们提出这个问题,就是把问题普遍化了,这次普遍化 是很凑巧的,它从一次观测到的事实引出显然普遍的规律。在数学、物理及自 然科学中,许多结果是由这种凑巧的普遍化而发现的。参见“归纳与数学归纳 法”一节。

(2)在求解题中,普遍化可能很有用。我们考虑下列立体几何问题:“给 定一直线与一正八面体的位置。求过已知直线并二等分已知八面体体积的平 面。”这个问题可能看起来很难,但事实上,稍稍熟悉正八面体的形状就足以 提出下列更普遍的问题:“给定一直线与一个具有对称中心的立体的位置。求 过已知直线并二等分已知立体体积的平面。”所求的平面当然经过立体的对称 中心,所以这个平面应由这点与已知直线所硫定。由于八面体有对称中心,所 以我们原来的问题也就迎刃而解了。

读者不会看不到第二个问题比第一个更普遍化,但却比第一个容易得多 了。事实上,我们解第一个问题的主要成就是创遗了第二个问题。创造第二个 问题时,我们承认了对称中心的作用;我们把八面体的性质(它对目前这个问题 很重要):即它有这样一个中心这个性质剖析出来了。

更普遍的问题可能更易求解,这看来矛盾,但前例已说明确实有这样的情 况。在解决特殊问题方面的主要成就是创造出普遍化的问题。在找出普遍化的 问题后,剩下的工怍只是一小部分了。因此,在我们的例中,普遍化的问题的 求解只是求解特殊问题工作量中的一小部分。

见“发明家的矛盾”一节。

(3)一个棱台的底为正方形,下底边长10英寸,上底边长5英寸,高为6英 寸,求它的体积。“如果将字母代替数字10,5,6,例如用a,b,h,这就是把 问题普遍化了”。我们得到一个比原来更普遍化的问题如下:“一个棱台的底 为正方形,下底边长为a,上底边长为b,高为h,求它的体积。”这样的普遍化 可能非常有用。从“数字”题过渡到“字母”题可以得到一个新程序;我们可 以变化已知数据,而这样做,我们可以用各种方法检验我们的结果。

参见“你能检验这结果吗?”一节第(2)点和“问题的变型”一节第(4)点。