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27.这里有个与你的问题有关且早已解决的问题

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  • 27.这里有个与你的问题有关且早已解决的问题

这是个好消息;有个问题的解答是已知的,且与我们当前的问题有联系,这当然值得欢迎。如果这联系是紧密的并且解答很简单,那就更受欢迎了。很 有可能,这样一个问题可用来解决我们当前的问题。

这里所讨论的情况是典型而重要的。为了看得更清楚,我们把它与利用辅 助问题从而解决问题的情况相比较。在这两种情况下,我们的目标都是解决某 个问题A,但我们却引人并考虑另一个问题B,希望它对解题A有利。差别在于对 B的关系不同。这里,我们是想到一个老问题B,我们知道它的解但不知道如何 利用它。那里,我们是创造了一个新问题B,我们知道(至少是强烈地猜测到) 如何利用它,但目前还不知道如何解它。我们关于B的困难形成了两种情况问的 所有差别。当我们克服了这个困难,在这两种情况下我们可以以同样的方式利 用B;可以利用它的结果或方法[“辅助问题”一节第(3)点中有说明].而且如 果我们运气好,可以同时利用它的结果和方法。在这里所考虑的情况下,我们 对B的求解很清楚,但目前还不知道如何加以利用。因此,我们问:你能利用它 吗?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?

利用某个早已解决的问题的意图会影响我们对当前问题的理解。试图把新 老两个问题联系起来,我们就在新问题中引入一些元素,它们对应于老问题中 某些重要元素。例如,我们的问题是确定外接于已知四面体的球。这是个立体 几何问题。我们可能回忆起,我们解过平面几何的类似问题,即作已知三角形 的外接圆。于是,我们回想起,在平面几何这一老问题巾,我们曾使用过三角 形的边的中垂线。在我们当前这个问题中,应当试图引入某些类比的东西。这 样就可能使我们想到在当前问题中引入四面体的中垂面作辅助元素。有了这个 念头,仿照平面几何中的类比问题,我们就很容易得到立体几何问题的解。

上例是典型的。考虑一个早已解决的有关问题,这导致我们引入辅助元素, 而引入适当的辅助元素使我们有可能在解决当前问题中充分利用有关问题。为 此,当我们思考如何利用一个早已解决的有关问题对,我们问:“为了可能利 用它,你是否应该引入某个辅助元素?”

这里有一个定理与你的问题有关且早已证明过。这是上述讨论的变型,在第19节将举例说明。