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38.符号

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  • 38.符号

如果你想体会一个选择适当而众所周知的符号有什么好处,你可以试试把 几个不太小的数相加,条件是不准用大家熟悉的阿拉伯数字,但如果你想写的 话,你可以用罗马数字。例如取数字为MMMXC,MDXCVI,MDCXLVI,MDCCLXXXI, MDCCCLXXXVII。

对数学符号的重要性我们几乎总是不会估计过高的。现在使用十进制符号 的计算工作者比古代不能以如此方便的形式记数的计算工作者要沾光得多。在 求解曾经考验过阿基米德天才的面积和体积问题上,一个熟悉代数、解析几何和微积分常用符号的普通现代学生较之古希腊数学家不知要沾多少光。

(1)说活与思维有密切联系,使用文字有助于思维,某些哲学家和语言学家还进一步断言:使用文字对于运用推理是必不可少的。

但后一说法未免有点言过其实。凡对严肃的数学工作稍具经验的人都知 道:不用文字而只注视几何图形或仅演算代数符号也可以进行一些相当艰巨的 思维。图及符号和数学思维有密切的联系,它们的使用有助于思维。我们可以 改进哲学家和语言学家上面那段多少有点狭隘的断言,办法是把文字和其他各 类符号并列而说成:使用符号对于运用推理看来是必不可少的。

无论如何,数学符号的使用类似于文字的使用。数学符号看来象一种语言, 一种构造良好的语言,一种非常适合其目的、简练而准确的语言,其规则与通 常的语法不同:它毫无例外。

如果我们接受这个观点,“建立方程”就象是一种翻译一样,把普通语言翻译成数学符号的语言。

(2)某些数学符号,如+、-、=以及若干其他符号,具有固定的传统意义, 但其余符号,如大写小写的罗马字母与希腊字母,则在不同的问题中具有不同 的意义。当我们面对一个新问题时,我们必须选择某些符号,我们必须引入适 当的记号。这与使用普通语言有些类似。许多词在不同的上下文中有不同的意 义;但在精确性很重要的场合下,我们必须小心选择我们的用词。

在解题中,选择符号是重要的一步。应谨慎从事。我们现在花费在选择符 号上的时间,以后可由避免了狐疑不定和混乱而节省下来的时间所弥补。此外, 在小心选择符号时,我们必须把问题中需加符号的元素仔细想个明白。这样, 选择一个合适的符号可能大大促进了对于问题的了解。

(3)一个好符号应该是不含糊的、富有意义的、便于记忆的;它应该避免 有害的第二重意义而利用有用的第二重要意义;符号的次序与联系应提示事物 的次序与联系。

(4)符号首先必须不含糊。在同一研究中,不允许一个符号代表两种不同 的对象。如果在解一道题时你把某个量叫做a,那么你应避免把与这同一问题相 联系的任何其他量也叫做a。当然,在不同的问题中,a可以有不同的意义。

虽然禁止对不同的对象使用相同的符号,但并不禁止对同一个对象使用不同的符号。所以a与b的乘积可以写成

a×b a·b ab

在某些情况下,对同一对象使用两个或更多的不同符号是有好处的,但这 时要特别小心。通常,一个对象只用一个符号较好,在任何情况下都不应随便 使用好几个符号。

(5)一个好符号应便于记忆,并便于确认;符号应立即使我们想起对象是什么,而对象则使我们想到符号是什么。

使符号便于确认的一个简单办法是使用对象的第一个字母作符号。例如第20节中,用r表示速率,用t表示时间,用V表示体积。    然而我们不能在所有情 况下都用第一个字母。这佯,在第20节中,我们必须考虑半径但我们不能把它 叫做r,因为这个字母已经表示速率了。还有其他的原因限制符号的选择,还有 其他的手段使其便于确认,这些我后面将讨论到。

(6)当符号的次序与联系可向我们提示对象的次序与联系时,符号对于形 成哉们的概念特别有用。现举例说明。

(I)为了表示在问题的概念中彼此接近的对象,我们使用字母表中彼此接近的字母。

这样,我们对于给定的量或常数,一般用英文字母表中开头的几个字母, 如a,b,c来表示。而对未知量或变量,则常用末尾的几个字母,如x,y,z来 表示。

在第8节,我们用a,b,c表示长方体的已知的长、宽、高。在这种情况下, 符号a,b,c比用长、宽、高的第一个字母 l,w,h更可取,因为这三个长度在 问题中起的作用相同,对比我们利用接连的三个字母加以强调。此外,正如我 们刚才所说的,a,b,c是字母表中头三个字母,所以它们是表示已知量的最常 用的字母。在另外一些情况下,如果三个长度所起的作用不同,并且知道哪些 长度是水平的,哪个长度是垂直的,对于解题很重要,那么这时符号l,w,h 可能更可取。

(II)为了表示属于同一类的对象,我们常常对同类对象选用属于同一字母表中的字母,而对不同类对象选用不同字母表中的字母。因此,在平面几何中:

罗马字母如A,B,C,…常用于点, 小写罗马字母如a,b,c,…常用于线, 小写希腊字母如α,β,γ,…常用于角。

如有两个对象分属于不同的类,但彼此有特殊的联系(这一点对我们的问 题很重要),我们可选不同字母表中相对应的字母来表示它们,如A,a,B,b 等等。一个大家熟悉的例子就是三角形的常见记法:

A,B,C代表顶点,

a,b,c代表边,

α,β,γ代表角。不言而喻,这里a是顶点A的对边,而A点的角叫做α。

(III)在第20节,字母a,b,x,y是特别精选的,以表明所指出的元素的 性质与联系。字母a,b暗示所代表的量是常数;x,y表示变量;a在b前就如x 在y之前,而这暗示 a对b的关系与x对y的关系相同。事实上,a与x是水平的,b 与y是垂直的,而a:b=x:y。

(7)符号

△ABC∽△EFG表示问题中的两个三角形相似。在现代书籍中,此公式意 味着两个三角形相似,其顶点按照符号的书写次序相对应,即A对E,B对F,C 对G。但在较古老的书籍中,并没有引入这种关于次序的附加规它;为了断定哪 个顶点和哪个顶点相对应.读者必须看图或记住其推导情况。

现代记法大大优越于古老记法。使用现代记法,我们不必看斟就可由公式得出结果。这样,我们可推出

∠A=∠E AB:BC=EF:FG

以及其他这类关系。而占老记法所表达的内容甚少,同时不能给出这样确定的结果。

如果一个符号比其他符号表达的内容更多,则可称为更“含义丰富的”。 相似三角形的现代记号就比古老符号含义丰富,它比古老符号更充分地反映了 事物的次序和联系,所以它可能比古老符号为提哄更多成果奠定基础。

(8)字(或词)有第二重含义。通常包含一个字的某些上下文对这个字会有 影响,并在其原义之外增加了一些东西,某些细微的差别,或第二重含义或“内 涵”。如果我们写作时很小心,就会在许多几乎是同义字中选择一个字,其第 二重含义最为贴切。

在数学符号中有类似的情况。即使是数学符号也可能从通常包含它们的上 下文中得到某种第二重含义。如果我们小心地选择符号,我们必须考虑这点。 现在我们加以说明。

有些字母已获得根深蒂固的传统意义,如e通常表示自然对数的底,i表示

`\sqrt{-1}` ,即虚数单位,π表示圆周率。我们最好按传统的含义来使用这些字,如 果我们把这样一个符号用于别的含义,则其传统的含义会随时干扰我们自定的 含义,从而会引起麻烦,甚至会产生误解。诚然,尚未研究过多少课题的初学 者比起对处理这类麻烦很有经验的数学家较少受这类有害的第二重含义的影响。

如果用得巧妙,符号的第二重含义也会有所帮助,甚至很有帮助。以前多 次用过的符号可能帮助我们回想起某个有用的程序;当然,我们应当十分小心 翼翼地把符号当前的(基本的)含义同其以前的(辅助的)含义清清楚楚地分开。 固定符号[如前面(6)(II)中所提到的三角形各部分用的传统符号]有很大的优 越性,既然以前多次用过,它可以帮助我们回想起各种以前用过的程序。我们 记忆公式时也用的是某个固定符号。当我们由于特殊情况不得不以一种不同往 常的含义来使用固定符号时,我们理所当然地应给予充分的注意。

(9)当我们必须在两个符号中选出一个而又各有道理,莫衷一是时,我们 需要凭经验与爱好来选出较合适的一个,正如我们写作时凭经验和爱好来选词 汇一样。但是我们知道上面所讨论过的各种利弊仍然是有益的。无论如何,我 们应该小心地选择符号,并且选择要有充分的道理。

(10)不但班级中最不可造就的孩子可能讨厌代数,甚至聪明过人的孩子有 时也会对它反感。符号总不免有些武断和不自然;学习一种新符号对记忆是一 种负担。如果聪明的学生不理解这种负担有什么好处,他就会加以拒绝。如果 他没有充分的机会亲身体验到“数学符号语言有助于思维”,那么他讨厌代数 是无可非议的。帮助学生获得这方面的经验体会是教师的重要职责,是最重要 的职责之一。

我说,这是一个重要的职责但并非易如反掌。上面的说明可能对此有些帮 助。还可参见“建立方程”一节。

我们推荐用广泛讨论公式性质的办法来检验一个公式,这足种特别有启发 性的练习;见“第14节”和“你能检验这结果吗?”节第2点。