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向量的正交分解

  • 向量的正交分解

在直角坐标系内,我们分别取与`x`轴、`y`轴方向相同的两个单位向量 `\vec{i}`、`\vec{j}`作为基底. 任作一个向量`\vec{a}`,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数`x、y`,使得:$$\vec{a}=x\vec{i}+y \vec{j}.$$

我们把`(x,y)`叫做向量`\vec{a}`的(直角)坐标,记作:`\vec{a}=(x,y)`.

其中`x`叫做`\vec{a}`在x轴上的坐标,`y`叫做`\vec{a}`在`y`轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示. 在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示.

根据定义,任取平面上两点`A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)`,则向量`\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)`,即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

平面向量的坐标表示及坐标加减法运算

平面向量的坐标表示及坐标加减法运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中,分别取与`x`轴,`y`轴正半轴方向相同的两个单位向量`\vec i,\vec j`作为基底,那么由平面向量基本定理可知,对于平面内的一个向量`\vec a`,有且只有一对实数`x,y`使`\vec a = x\vec i + y\vec j`,我们把有序实数对(`x,y`)叫做向量`\vec a`的坐标,记作`\vec a`=(`x,y`).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的,即有

向量(`x,y`) `\begin{matrix} 一一对应\\ \leftrightarrows \end{matrix}  ` 向量`\overrightarrow {OA}~ `  `\begin{matrix} 一一对应\\ \leftrightarrows \end{matrix}  `点`A`(`x,y`).

向量的平行

  • 向量的平行

设`\overrightarrow a  = ({x_1},{y_1})`,`\overrightarrow b  = ({x_2},{y_2})`.`\overrightarrow a //\overrightarrow b `的充要条件是`{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1} = 0`.

除了坐标表示`{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1} = 0`外,下面两种表达也经常使用:

1.当`\overrightarrow b  \ne \vec 0`时,可表示为`\overrightarrow a  = \lambda \overrightarrow b `;

2.当`{x_2},{y_2}  \ne 0`时,可表示为`\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}}`,即对应坐标成比例.

平面向量的基本定理及性质

共线向量基本定理

如果`\vec a = \lambda \vec b(\lambda  \in R)`,则`\vec a//\vec b`;反之,如果`\vec a//\vec b`且`\vec b \ne \vec 0`,则一定存在唯一的实数`\lambda `,使`\vec a = \lambda \vec b`.(口诀:数乘即得平行,平行必有数乘).

平面向量基本定理: 如果 `\vec{e_1},~\vec{e_2}`是同一平面内的不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 `\vec{a}`, 有且只有一对实数 `λ_1,~λ_2`, 使$$\vec{a}=λ_1\vec{e_1}+λ_2\vec{e_2}.$$

 把不共线的向量 `\vec{e_1},~\vec{e_2}` 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 (base).

数乘向量

  • 数乘向量

实 数λ与向量`\vec{a}`的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作`λ\vec{a}`. 当`λ>0`时,`λ\vec{a}`的方向 和`\vec{a}`的方向相同,当`λ<0`时,`λ\vec{a}`的方向和a的方向相反,当`λ = 0`时,`λ\vec{a}=0`.

用坐标表示的情况下有:`λ\vec{AB}=λ(x_2-x_1,y_2-y_1)=(λx_2-λx_1,λy_2-λy_1)`,

设`λ、μ`是实数,那么满足如下运算性质:

`(λμ) \vec{a}= λ(μ \vec{a})`;

`(λ + μ) \vec{a}= λ \vec{a}+ μ \vec{a}`;

`λ(\vec{a}±\vec{b}) = λ\vec{a}± λ\vec{b}`;

向量加减法

  • 向量加减法

1.向量加法

向 量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. 具体地,两个向量  `\vec{a}`  和  `\vec{b}`  相加,得到的是另一个向量. 这个向量可以表示为  `\vec{a}`  和  `\vec{b}`  的起点重合后,以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线(以共同的起点为起点的那一条,见下图左),或者表示为将  `\vec{a}`  的终点和  `\vec{b}`  的起点重合后,从  `\vec{a}`  的起点指向 `\vec{b}`  的终点的向量:

  

向量的概念

  • 向量的概念

把这种既有大小, 又有方向的量叫做向量(vector), 向量在物理学中又叫矢量. 而把那些只有大小, 没有方向的量(如年龄、身高、长度……), 称为数量 标量.

几何表示

具有方向的线段叫做有向线段,我们以`A`为起点、 `B`为终点的有向线段记作`\vec{AB}`, 则向量可以相应地记作`\vec{AB}`. 但是,区别于有向线段,在一般的数学研究中,向量是可以平移的.

有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以`A`为起点,`B`为终点的有向线段记作或`\vec{AB}`;

向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作`\left|AB \right|`;

解三角形的实际应用

  • 正、余弦定理应用

1.有关名词:

(1)仰角和俯角:与目标在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角。目标视线在水平线上面时角仰角,目标视线在视平线下方时叫做俯角。如图示:

仰角和俯角,成长吧啊

(2)方位角:一般是指正北方向顺时针转到目标线的水平角,如果方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向.

(3)坡角:坡面与水平面的夹角.

解三角形

一般地,把三角形的三个角A、B、C和它的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

解三角形基本思路

①已知三边,先用余弦定理求角;

②已知两边夹角,先用余弦定理求第三边,再用正弦定理其较小角;

③已知两边及一边的对角,先用正弦定理求角,注意有解、无解、多解的分析;

④已知一边及两角,用正弦定理求边.

三角形内角和与诱导公式

(1)\(A+B+C=\pi\Rightarrow A+B=\pi-C\)

则 \(\sin (A+B)=\sin C\),

余弦定理

  • 余弦定理

余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值(cos)的数学式,参考右图,余弦定理指的是:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos~C\,$$

同理,也可以将其改为:

`b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos~B\,`;

`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos~A\,`;

其中 `c` 是 `C` 角的对边,而 `a` 和 `b` 是 `B` 角的邻边.

正弦定理

  • 正弦定理

正 弦定理: 对于任意 `\triangle ABC` , `a` 、 `b` 、 `c` 分别为 `\angle A` 、 `\angle B` 、 `\angle C` 的对边, `R` 为 `\triangle ABC` 的外接圆半径,则有 $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R. $$

即: \(a:b:c=\sin A:\sin B :\sin C\)

三角函数图像变换

函数`y = \sin x`的图像变换为函数`y = A\sin (\omega x + \phi ) + b(A,\omega > 0)`的图像.

方法一:`(x \to x + \phi  \to \omega x + \phi )`先相位变换,后周期变换,再振幅变换.

`y = \sin x`的图像 `\dfrac{向右平移\phi个单位(\phi >0)}{向左平移~|\phi|~个单位(\phi <0)}~\to ~~`

`y = \sin (x + \phi )`的图像 `\dfrac{向左平移\frac{\phi}{\omega}个单位(\phi >0)}{向左平移~|\frac{\phi}{\omega}|~个单位(\phi <0)}~\to ~~`

定积分

  • 定积分的概念

定积分概念: 如果函数 `f(x)` 在区间 `[a,b]` 上连续, 用分点$$ a=x_0<x_1< \cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots <x_n=b $$将区间[a,b]等分成 `n` 个小区间, 在每个小区间 `[x_{i-1},x_i]` 上任取一点 `\xi~(i=1,2,\cdots,n)`, 作和式$$\begin{matrix} \sum_{i=1}^N f(\xi_i)\Delta x=\sum_{i=1}^N \frac{b-a}{n}f(\xi_i)\end{matrix},$$

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