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3.函数的最大(小)值与导数

  • 函数的最大(小)值与导数

一般地, 求函数 `y=f(x)` 在 `[a,b]` 上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)求函数 `y=f(x)` 在 `(a,b)` 内的极值;

(2)将函数 `y=f(x)` 的各极值与端点处的函数值 `f(a),f(b)` 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注:函数的极值点一定有意义.

2.函数的极值与导数

2.函数的极值与导数

极值  极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值(extreme value).

极值的判别方法: 极值是在 `x_0` 附近所有的点,都有 `f(x)<f(x_0)`,则 `f(x_0)` 是函数 `f(x)` 的极大值,极小值同理.

当函数 `f(x)` 在点 `x_0` 处连续时,

①如果在 `x_0` 附近的左侧 `f'(x)>0`,右侧 `f'(x)<0`, 那么 `f(x_0)` 是极大值;

②如果在 `x_0` 附近的左侧 `f'(x)<0`,右侧 `f'(x)>0`,那么 `f(x_0)` 是极小值.

也 就是说 `x_0` 是极值点的充分条件是 `x_0` 点两侧导数异号,而不是 `f'(x)=0`(注释①). 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点(注释②). 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).

导数几何意义

  • 导数的几何意义

函 数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 处的导数的几何意义就是曲线 `y=f(x)` 在点 `(x_0,f(x_0))` 处的切线的斜率,也就是说,曲线 `y=f(x)` 在点 `P(x_0,f(x_0))` 处的切线的斜率是 `f'(x_0)`,切线方程为 `y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)`.

导数的概念

  • 导数的概念

1.导数(导函数的简称)的定义:设 `x_0` 是函数 `y=f(x)` 定义域的一点,如果自变量 `x ` 在 `x_0 ` 处有增量 `\Delta x`,则函数值 `y` 也引起相应的增量 `\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)`;

比值 $$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$称为函数 `y=f(x)` 在点 `x_0` 到 `x_0+\Delta x` 之间的平均变化率;

函数与方程

对于函数`y = f\left( x \right)`,我们把使`f\left( x \right) = 0`的实数`x`叫做函数`y = f\left( x \right)`的零点.

  • 方程的根与函数零点的关系

方程`f\left( x \right) = 0`有实数根` \Leftrightarrow `函数`y = f\left( x \right)`的图像与`x`轴有公共点` \Leftrightarrow `函数`y = f\left( x \right)`有零点.

函数的应用

函数的应用主要有两个方面

1.结合函数的图像和性质研究函数的零点,用二分法求函数零点的近似值或求相应方程的近似解,从中体会函数与方程之间的联系;

2.通过一些实例感受建立函数模型的过程和方法,初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题.

对数方程

  • 对数方程

(1)定义: 在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程.

(2)主要解法:

①`\log_ax=b~~(a>0,a\neq 1)`, 解得 `x=a^b`.

②形如 `\log_af(x)=\log_ag(x)~~(a>0,a\neq 1)` 的方程, 采用比较真数法, 解得\begin{cases}f(x)>0 \\g(x)>0 \\f(x)=g(x). \end{cases}

③形如 `(\log_ax)^2+p\log_ax+q=0` 的方程, 可设 `y=\log_ax`, 利用换元法解方程.

④图象法.

指数方程

  • 指数方程

(1)定义: 在指数部分含有未知数的方程叫指数方程.

(2)主要解法:

①`a^x=b~~(a>0,a\neq,b>0)`, 解得 `x=\log_ab`.

②形如 `a^{f(x)}=a^{g(x)}~~(a>0,a\neq 1)` 的方程, 采用比较指数法, 解得 `f(x)=g(x)`.

③形如 `a^{f(x)}=b^{g(x)}~~(a>0,b>0,a\neq 1,b\neq 1)` 的方程, 采用比较指数法, 解得 `f(x)\lg(a)=g(x)\lg b`.

④换元法, 如 `a^{2x}+pa^x+q=0`, 可设 `y=a^x`.

⑤图象法.

函数的图像

1.直接画

①确定定义域;②化简解析式;③考察性质:奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性;④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点;⑤特殊线(对称轴、渐近线等).

2.图像的变换

1)平移变换

①函数`y = f(x + a)(a > 0)`的图像是把函数`y = f(x)`的图像沿`x`轴向左平移`a`个单位得到的;

②函数`y = f(x - a)(a > 0)`的图像是把函数`y = f(x)`的图像沿`x`轴向右平移`a`个单位得到的;

幂函数

1.幂函数的定义: 形如 `y=x^a ` 的函数, 叫做幂函数(power function), 其中 `x` 是自变量, `a` 是常数.

2.幂函数的图像:

幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四项县内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像如果与坐标轴相交,则交点一定是原点.

幂函数

3.幂函数的性质

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