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对数函数

(1)对数函数的定义: 形如 `y=\log_ax~(a>0, a\neq 1)` 的函数叫做对数函数. 由于它是指数函数的泛函数, 所以它的定义域为 `x>0`.

(2)对数函数的图像:

对数函数

(3)对数函数的图像特征

①图像在 `y` 轴右侧;

②图像连续向上、下无限延展;

③图像都过 `(1,0)` 点.

指数函数

(1)指数函数的定义: 形如 `y=a^x ~(a>0,~且~a\neq 1)` 的函数叫做指数函数. 

(2)指数函数的图像:

指数函数

(3)指数函数的图像特征

①图像向左右连续无限延伸;

②图像位于 `x` 轴上方;

③图像进过 `(0,1)` 点;

④`a>1` 时, 图像在第一象限内的纵坐标都大于`1`, 在第二象限的纵坐标都小于`1`;

二次函数应用

一元二次方程的构造函数或构造方程

1. 区间根问题

设一元二次方程\(a{x^2} + bx + c = 0(a > 0)\)对应的二次函数为\(f(x) = a{x^2} + bx + c = 0(a > 0)\)(对于\(a < 0\)的情况可以类似的讨论),其中\(k,{k_1},{k_2}\)为常数,`\Delta  = {b^2} - 4ac`.

方程解的情况

函数图像

充要条件

方程\(f(x) = 0\)在区间\(( - \infty ,k)\)内有两个不等实根

函数的单调性

函数单调性函数的单调性就是随着 `x` 的变大,`y` 在变大就是增函数,随着 `x` 的变小, `y` 变小就是减函数. 用数学符号严格描述就是:

一般地,设函数 `f(x)` 的定义域为 `I`:

增函数: 如果对于定义域 `I` 内某个区间 `D` 上的任意两个自变量的值 `x_1,x_2`,当 `x_1<x_2` 时. 都有 `f(x_1)<f(x_2)`, 那么就说函数 `f(x)` 在区间 `D` 上是增函数(increasing function).

函数的值域

函数的值域有函数的定义域和对应法则确定的, 不论用什么方法求值域时都要考虑其定义域.

求函数值域的常用方法

(1)观察法:根据最基本函数值域(如\({x^2}\)≥0,\({a^x} > 0\)及函数的图像、性质、简单的计算、推理,凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

(2)配方法:对于形如\(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点,结合二次函数的定义城求出函数的值域.

(3)图像法:根据所给数学式子的特征,构造合适的几何模型.

(4)基本不等式法:注意使用基本不等式的条件,即一正、二定、三相等.

(5)换元法:分为三角换元法与代数换元法,对于形\(y = ax + b + \sqrt {cx + d} \)的值城,可通过换元将原函数转化为二次型函数.

函数

变量、常量: 在某一变化的过程中, 可以取不同数值的量叫做变量, 保持不变的量叫做常量.函数图 成长吧啊

函数定义: 在某一变化过程中有两个变量`x`和`y`,对于`x`的每一个确定的值,`y`都有唯一确定的值与它对应,则`y`与`x`有函数关系.一般用`y=f(x)`表示. 其中`x`叫做自变量,`y`叫做因变量.

函数的定义域

(1)若 `f(x)` 是整式, 则定义域为全体实数.

(2)若 `f(x)` 是分式, 则定义域为使分母不为零的全体实数.

(3)若 `f(x)` 是偶次根式, 则其定义域为使被开方式为非负的全体实数.

(4)若 `f(x)=\log_ag(x)`, 则定义域由 `g(x)>0` 且 `a>0,a\neq1` 来确定.

(5)零次幂或负指数次幂的底数不为零.

(6) 三角函数中的正切 `y = \tan x` 的定义域是 `\left\{ {x\left| {x \in {\mathbf{R}},~且~x \ne k{\pi } + \frac{{\pi}}{2},k \in {\mathbf{Z}}} \right.} \right\},`

充分条件与必要条件

  • 充分条件与必要条件

充分条件和必要条件  一般地, “`若 ~p,~则~q`” 为真命题, 是指由 `p` 通过推理可以得出 `q`. 这时, 我们就说, 由 `p` 可推出 `q` ,记作 $$p\Rightarrow q,$$并且说 `p` 是 `q` 的充分条件(sufficient condition), `q` 是 `p` 的必要条件(necessary condition).

德摩根定律

在命题逻辑和逻辑代数中,德摩根定律(或称德摩根定理)是关于命题逻辑规律的一对法则.

奥古斯塔斯·德摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系:

非(P 且 Q)=(非 P)或(非 Q)

非(P 或 Q)=(非 P)且(非 Q)

德摩根定律在数理逻辑的定理推演中,在计算机的逻辑设计中以及数学的集合运算中都起着重要的作用[1].他的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究,这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位,尽管亚里士多德也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》).

形式表示

形式逻辑中此定律表达形式:

`¬(P∧Q)=(¬P)∨(¬Q)`

`¬(P∨Q)=(¬P)∧(¬Q)`

在集合论中:

德摩根

奥古斯塔斯·德摩根

奥古斯塔斯·德摩根奥古斯塔斯·德摩根(Augustus De Morgan,1806年6月27日-1871年3月18日,英语发音[ɔːˈgʌstəs də ˈmɔːgən]),英国数学家、逻辑学家.他明确陈述了德摩根定律,将数学归纳法的概念严格化.

生平

童年   他生于印度马德拉斯管辖区.其父在东印度公司工作,母亲是詹姆斯·多德森(曾编制反对数表)的后代.他七个月大时,举家迁回英国.

十岁时,父亲去世,她母亲带他搬到英国西部.其数学才华一直未被发现,直至十四岁时,一位家庭的朋友意外发现他精心绘制的尺规作图.

全称量词与存在量词

  • 全称量词与存在量词

1.全称量词、全称命题  短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier), 并用符号"`\forall`"表示. 含有全称量词的命题, 叫做全称命题.

2.存在量词、特称命题  短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier), 并用符号"`\exists`"表示. 含有存在量词的命题, 叫做特称命题.

  • 含有一个量词的命题的否定

一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论:

常用逻辑用语

  • 命题及其关系

命题: 一般地, 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition).

真命题: 判断为真的语句为真命题(true proposition).

假命题: 判断为假的语句叫做假命题(false proposition).

若 `p` , 则 `q` 的形式, 是最常见的命题形式, 这种形式的命题中的 `p` 叫做命题的条件, `q` 叫做命题的结论

简单的逻辑联结词

  • 简单的逻辑联结词

一、且(and)

用连接词"且"把命题 `p` 和命题 `q` 联结起来, 就得到一个新命题, 记作$$p\land q,$$读作"`p`且`q`".

当 `p、q` 都是真命题时, `p\land q` 是真命题; 当 `p,~q` 两个命题中有一个命题是假命题时, `p\land q` 是假命题.

二、或(or)

用联结词"或"把命题 `p` 和命题 `q` 联结起来, 就得到一个新命题, 记作$$p\lor q,$$读作"`p`或`q`".

当 `p,~q` 两个命题中有一个命题是真命题时, `p\lor q`是真命题; 当 `p,~q` 两个命题都是假命题时, `p\lor q` 是假命题.

三、非(not)

韦恩图

韦恩图(Venn图),或译温氏图、维恩图、范氏图,是在所谓的集合(或者类的理论)数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合(或类)的一种草图.它们用于展示在不同的事物群组(集合)之间的数学或逻辑联系,尤其适合用来表示集合(或)类之间的“大致关系”,它也常常被用来帮助推导(或理解推导过程)关于集合运算(或类运算)的一些规律.

起源

约翰·维恩是19世纪英国的哲学家和数学家,他在1881年发明了文氏图.

例子

集合的运算

(1)交集  所有即属于集合 `A` 又属于集合 `B` 的元素组成的集合, 叫做 `A` 与 `B` 的交集, 记作 `A\cap B`, 即 $$A\cap B=\{x|x\in A ,且x\in B \} .$$

(2)并集  所有属于集合 `A` 属于集合 `B` 的元素组成的集合, 叫做 `A` 与 `B` 的并集, 记作 `A\cup B`, 即 $$A\cup B=\{x|x\in A, 或  x\in B \}. $$

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